Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 4 d x}$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

$e^{4 x + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{4 x}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{4 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} (2 x)$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} (2 x)$

Passaggio 2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 2 e^{4 x} x$

Passaggio 2.4

Riordina i fattori in $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 2 e^{4 x} x$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = 2 x e^{4 x}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = 2 x e^{4 x}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int 2 x e^{4 x} d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{4 x} y = \int 2 x e^{4 x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{4 x} y = 2 \int x e^{4 x} d x$

Passaggio 6.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

$\frac{1}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Passaggio 6.3.2

$x$ e $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Passaggio 6.3.3

$\frac{1}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

Passaggio 6.4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

Passaggio 6.5

Sia $u = 4 x$ . Allora $d u = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sia $u = 4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1

Differenzia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 6.5.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 6.5.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 6.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Passaggio 6.6

$e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Passaggio 6.7

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Passaggio 6.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Passaggio 6.8.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Passaggio 6.9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Passaggio 6.10

Riscrivi $2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ come $2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Passaggio 6.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Passaggio 6.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.12.1.1

$\frac{1}{4}$ e $x$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Passaggio 6.12.1.2

$\frac{x}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Passaggio 6.12.1.3

$e^{4 x}$ e $\frac{1}{16}$ .

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Passaggio 6.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{4} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Passaggio 6.12.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.12.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Passaggio 6.12.3.2

Elimina il fattore comune.

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Passaggio 6.12.3.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Passaggio 6.12.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.12.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{4 x}}{16}$ nel numeratore.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

Passaggio 6.12.4.2

Scomponi $2$ da $16$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 (8)} + C$

Passaggio 6.12.4.3

Elimina il fattore comune.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8} + C$

Passaggio 6.12.4.4

Riscrivi l'espressione.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{- e^{4 x}}{8} + C$

Passaggio 6.12.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{e^{4 x}}{8} + C$

Passaggio 6.13

Riordina i termini.

$e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{4 x}$ ciascun termine in $e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $e^{4 x}$ ciascun termine in $e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{4 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{4 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 7.3.1.1.2

Dividi $\frac{1}{2} x$ per $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 7.3.1.2

Elimina il fattore comune di $e^{4 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Dividi $- \frac{1}{8}$ per $1$ .

$y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 7.3.2

Sottrai $\frac{1}{8}$ da $\frac{1}{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Riordina $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$y = x \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 7.3.2.2

Per scrivere $x \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$y = x \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 7.3.2.3

$x \frac{1}{2}$ e $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 8}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 7.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 8 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 7.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot 8 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 7.3.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (4)) - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 7.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 4) - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 7.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x \cdot 4 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 7.3.3.3

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$y = \frac{4 x - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 7.3.4

Per scrivere $\frac{4 x - 1}{8}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e^{4 x}}{e^{4 x}}$ .

$y = \frac{4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Passaggio 7.3.5

Per scrivere $\frac{C}{e^{4 x}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}} \cdot \frac{8}{8}$

Passaggio 7.3.6

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8 e^{4 x}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.6.1

Moltiplica $\frac{4 x - 1}{8}$ per $\frac{e^{4 x}}{e^{4 x}}$ .

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}} \cdot \frac{8}{8}$

Passaggio 7.3.6.2

Moltiplica $\frac{C}{e^{4 x}}$ per $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C \cdot 8}{e^{4 x} \cdot 8}$

Passaggio 7.3.6.3

Riordina i fattori di $e^{4 x} \cdot 8$ .

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Passaggio 7.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Passaggio 7.3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{4 x e^{4 x} - 1 e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Passaggio 7.3.8.2

Riscrivi $- 1 e^{4 x}$ come $- e^{4 x}$ .

$y = \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

Passaggio 7.3.8.3

Sposta $8$ alla sinistra di $C$ .

$y = \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} + 8 C}{8 e^{4 x}}$