Calcolo Esempi

$\frac{d x}{d t} = e^{x - t}$

Passaggio 1

Sia $v = e^{x - t}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{x - t}$ con $v$ .

$\frac{d x}{d t} = v$

Passaggio 2

Trova $\frac{d v}{d t}$ differenziando $e^{x - t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = x - t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x - t$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [x - t]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [x - t]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - t$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} \frac{d}{d t} [x - t]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (\frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [- t])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d t} [x]$ come $x'$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' + \frac{d}{d t} [- t])$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' - \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' - 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' - 1)$

Passaggio 3

Sostituisci $v$ a $e^{x - t}$ .

$\frac{d v}{d t} = v (x' - 1)$

Passaggio 4

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} + 1 = v$

Passaggio 5

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Risolvi per $\frac{d v}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} = v - 1$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica ogni lato per $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v - 1) v$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v - 1) v$

Passaggio 5.1.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d t} = (v - 1) v$

Passaggio 5.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Semplifica $(v - 1) v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d v}{d t} = v \cdot v - 1 v$

Passaggio 5.1.3.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.2.1

Moltiplica $v$ per $v$ .

$\frac{d v}{d t} = v^{2} - 1 v$

Passaggio 5.1.3.2.1.2.2

Riscrivi $- 1 v$ come $- v$ .

$\frac{d v}{d t} = v^{2} - v$

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{v^{2} - v}$ .

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v^{2} - v} (v^{2} - v)$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $v^{2} - v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v^{2} - v} (v^{2} - v)$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d t} = 1$

Passaggio 5.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{v^{2} - v} d v = 1 d t$

Passaggio 6

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{v^{2} - v} d v = \int d t$

Passaggio 6.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Scomponi $v$ da $v^{2} - v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1.1

Scomponi $v$ da $v^{2}$ .

$\frac{1}{v \cdot v - v}$

Passaggio 6.2.1.1.1.2

Scomponi $v$ da $- v$ .

$\frac{1}{v \cdot v + v \cdot - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.1.3

Scomponi $v$ da $v \cdot v + v \cdot - 1$ .

$\frac{1}{v (v - 1)}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $v (v - 1)$ .

$\frac{1 (v (v - 1))}{v (v - 1)} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (v (v - 1))}{v (v - 1)} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (v - 1)}{v - 1} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.5

Elimina il fattore comune di $v - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (v - 1)}{v - 1} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.6.1.2

Dividi $A (v - 1)$ per $1$ .

$1 = A (v - 1) + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A (v) + A \cdot - 1 + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.6.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $A$ .

$1 = A (v) - 1 \cdot A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.6.4

Riscrivi $- 1 A$ come $- A$ .

$1 = A (v) - A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.6.5

Elimina il fattore comune di $v - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.6.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A (v) - A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.1.6.5.2

Dividi $B v$ per $1$ .

$1 = A v - A + B v$

Passaggio 6.2.1.1.7

Sposta $- A$ .

$1 = A v + B v - A$

Passaggio 6.2.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $v$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 6.2.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $v$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 1 A$

Passaggio 6.2.1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

Passaggio 6.2.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = - 1 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$0 = A + B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 A = 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.2.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

Passaggio 6.2.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B$ con $- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

Passaggio 6.2.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

Passaggio 6.2.1.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = - 1 + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

Passaggio 6.2.1.3.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

Passaggio 6.2.1.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = 1 A = - 1$

Passaggio 6.2.1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 1, A = - 1$

Passaggio 6.2.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{v} + \frac{B}{v - 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$- \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1}$

Passaggio 6.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Passaggio 6.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Passaggio 6.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $v$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Passaggio 6.2.4

L'integrale di $\frac{1}{v}$ rispetto a $v$ è $\ln (| v |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Passaggio 6.2.5

Sia $u_{2} = v - 1$ . Allora $d u_{2} = d v$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Sia $u_{2} = v - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1.1

Differenzia $v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [v - 1]$

Passaggio 6.2.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $v - 1$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Passaggio 6.2.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Passaggio 6.2.5.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $v$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.2.5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2.5.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Passaggio 6.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \ln (| u_{2} |) + C_{2} = \int d t$

Passaggio 6.2.7

Semplifica.

$- \ln (| v |) + \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Passaggio 6.2.8

Riordina i termini.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = \int d t$

Passaggio 6.3

Applica la regola costante.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = t + C_{4}$

Passaggio 6.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) = t + C$

Passaggio 7

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = t + C$

Passaggio 7.2

Riordina $t$ e $C$ .

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + t$

Passaggio 7.3

Per risolvere per $v$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |})} = e^{C + t}$

Passaggio 7.4

Riscrivi $\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + t$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C + t} = \frac{| u_{2} |}{| v |}$

Passaggio 7.5

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + t}$ .

$\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + t}$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica ogni lato per $| v |$ .

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + t} | v |$

Passaggio 7.5.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.3.1

Elimina il fattore comune di $| v |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + t} | v |$

Passaggio 7.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| u_{2} | = e^{C + t} | v |$

Passaggio 7.5.4

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.4.1

Riscrivi l'equazione come $e^{C + t} | v | = | u_{2} |$ .

$e^{C + t} | v | = | u_{2} |$

Passaggio 7.5.4.2

Dividi per $e^{C + t}$ ciascun termine in $e^{C + t} | v | = | u_{2} |$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.4.2.1

Dividi per $e^{C + t}$ ciascun termine in $e^{C + t} | v | = | u_{2} |$ .

$\frac{e^{C + t} | v |}{e^{C + t}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Passaggio 7.5.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{C + t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{C + t} | v |}{e^{C + t}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Passaggio 7.5.4.2.2.1.2

Dividi $| v |$ per $1$ .

$| v | = \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Passaggio 7.5.4.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Passaggio 8

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riordina i termini.

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{t + C}}$

Passaggio 8.2

Riscrivi $e^{t + C}$ come $e^{t} e^{C}$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{t} e^{C}}$

Passaggio 8.3

Riordina $e^{t}$ e $e^{C}$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}}$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $e^{x - t}$ .

$e^{x - t} = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}}$

Passaggio 10

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x - t}) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Passaggio 10.2

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Espandi $\ln (e^{x - t})$ spostando $x - t$ fuori dal logaritmo.

$(x - t) \ln (e) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Passaggio 10.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(x - t) \cdot 1 = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $x - t$ per $1$ .

$x - t = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Passaggio 10.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x - t = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}})$

Passaggio 10.4

Somma $t$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}) + t$

Passaggio 11

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Riordina i termini.

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{t + C}}) + t$

Passaggio 11.2

Riscrivi $e^{t + C}$ come $e^{t} e^{C}$ .

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{t} e^{C}}) + t$

Passaggio 11.3

Riordina $e^{t}$ e $e^{C}$ .

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}}) + t$