Calcolo Esempi

$\frac{d F}{d x} = 4 e^{x} + 5 x^{2}$ , $F (0) = - 4$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d F = (4 e^{x} + 5 x^{2}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d F = \int 4 e^{x} + 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$F + C_{1} = \int 4 e^{x} + 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$F + C_{1} = \int 4 e^{x} d x + \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$F + C_{1} = 4 \int e^{x} d x + \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$F + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$F + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + 5 \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$F + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

Semplifica.

$F + C_{1} = 4 e^{x} + 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2

$5$ e $\frac{1}{3}$ .

$F + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{5}{3} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.7

Riordina i termini.

$F + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 4 e^{x} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$F = \frac{5}{3} x^{3} + 4 e^{x} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $F$ con $- 4$ in $F = \frac{5}{3} x^{3} + 4 e^{x} + K$ .

$- 4 = \frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 e^{0} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 e^{0} + K = - 4$ .

$\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 e^{0} + K = - 4$

Passaggio 4.2

Semplifica $\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 e^{0} + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot 0 + 4 e^{0} + K = - 4$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $\frac{5}{3}$ per $0$ .

$0 + 4 e^{0} + K = - 4$

Passaggio 4.2.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 4 \cdot 1 + K = - 4$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$0 + 4 + K = - 4$

Passaggio 4.2.2

Somma $0$ e $4$ .

$4 + K = - 4$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = - 4 - 4$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $4$ da $- 4$ .

$K = - 8$

Passaggio 5

Sostituisci $- 8$ a $K$ in $F = \frac{5}{3} x^{3} + 4 e^{x} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 8$ a $K$ .

$F = \frac{5}{3} x^{3} + 4 e^{x} - 8$

Passaggio 5.2

$\frac{5}{3}$ e $x^{3}$ .

$F = \frac{5 x^{3}}{3} + 4 e^{x} - 8$