Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = {(e^{x} + 4)}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = {(e^{x} + 4)}^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int {(e^{x} + 4)}^{2} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int {(e^{x} + 4)}^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi ${(e^{x} + 4)}^{2}$ come $(e^{x} + 4) (e^{x} + 4)$ .

$y + C_{1} = \int (e^{x} + 4) (e^{x} + 4) d x$

Passaggio 2.3.1.2

Espandi $(e^{x} + 4) (e^{x} + 4)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y + C_{1} = \int e^{x} (e^{x} + 4) + 4 (e^{x} + 4) d x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 4 + 4 (e^{x} + 4) d x$

Passaggio 2.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 4 + 4 e^{x} + 4 \cdot 4 d x$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.3.1.1

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.1.3.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + C_{1} = \int e^{x + x} + e^{x} \cdot 4 + 4 e^{x} + 4 \cdot 4 d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.1.2

Somma $x$ e $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + e^{x} \cdot 4 + 4 e^{x} + 4 \cdot 4 d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 4 \cdot e^{x} + 4 e^{x} + 4 \cdot 4 d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 4 e^{x} + 4 e^{x} + 16 d x$

Passaggio 2.3.1.3.2

Somma $4 e^{x}$ e $4 e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 8 e^{x} + 16 d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int 8 e^{x} d x + \int 16 d x$

Passaggio 2.3.3

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.3.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.3.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.3.3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 8 e^{x} d x + \int 16 d x$

Passaggio 2.3.4

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 8 e^{x} d x + \int 16 d x$

Passaggio 2.3.5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 8 e^{x} d x + \int 16 d x$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int 8 e^{x} d x + \int 16 d x$

Passaggio 2.3.7

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 8 \int e^{x} d x + \int 16 d x$

Passaggio 2.3.8

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 8 (e^{x} + C_{3}) + \int 16 d x$

Passaggio 2.3.9

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 8 (e^{x} + C_{3}) + 16 x + C_{4}$

Passaggio 2.3.10

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + 8 e^{x} + 16 x + C_{5}$

Passaggio 2.3.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + 8 e^{x} + 16 x + C_{5}$

Passaggio 2.3.12

Riordina i termini.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + 16 x + 8 e^{x} + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} + 16 x + 8 e^{x} + K$