Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$ , $y (0) = 5$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = 3 x^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 3 \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ come $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.3.2.1

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = 1 x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.3

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$y + C_{1} = x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = x^{3} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $5$ in $y = x^{3} + K$ .

$5 = 0^{3} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $0^{3} + K = 5$ .

$0^{3} + K = 5$

Passaggio 4.2

Semplifica $0^{3} + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + K = 5$

Passaggio 4.2.2

Somma $0$ e $K$ .

$K = 5$

Passaggio 5

Sostituisci $5$ a $K$ in $y = x^{3} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $5$ a $K$ .

$y = x^{3} + 5$