Calcolo Esempi

$(y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}) d x + (e^{x} + 2 x y) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $e^{x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y e^{x}$ rispetto a $y$ è $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + \frac{d}{d y} [2 e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $2 e^{x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 e^{x}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 0 + 2 y$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + 2 y$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + e^{x}$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = e^{x} + 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} + 2 x y]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + 2 x y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 2 y$

Passaggio 2.5

Riordina i termini.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + e^{x}$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 y + e^{x}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 y + e^{x}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 y + e^{x} = 2 y + e^{x}$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$2 y + e^{x} = 2 y + e^{x}$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x} + 2 x y d y$

Passaggio 5

Integra $N (x, y) = e^{x} + 2 x y$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int e^{x} d y + \int 2 x y d y$

Passaggio 5.2

Applica la regola costante.

$f (x, y) = e^{x} y + C + \int 2 x y d y$

Passaggio 5.3

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2 x$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = e^{x} y + C + 2 x \int y d y$

Passaggio 5.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{x} y + C + 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$f (x, y) = e^{x} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x y^{2} + C$

Passaggio 5.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = e^{x} y + \frac{2}{2} x y^{2} + C$

Passaggio 5.6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = e^{x} y + \frac{2}{2} x y^{2} + C$

Passaggio 5.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = e^{x} y + 1 x y^{2} + C$

Passaggio 5.6.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + g (x)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y + x y^{2} + g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} y + x y^{2} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{x} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $e^{x} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y e^{x} + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Passaggio 8.4

Calcola $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y^{2}$ rispetto a $x$ è $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$y e^{x} + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Passaggio 8.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y e^{x} + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Passaggio 8.4.3

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$y e^{x} + y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Passaggio 8.5

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y e^{x} + y^{2} + \frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Passaggio 8.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} + e^{x} y = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Passaggio 8.6.2

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d x} + y^{2} + e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} + y e^{x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2}$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2}$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $y e^{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2} - y e^{x}$

Passaggio 9.1.3

Combina i termini opposti in $y e^{x} + 2 e^{x} + y^{2} - y^{2} - y e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Sottrai $y^{2}$ da $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} + 0 - y e^{x}$

Passaggio 9.1.3.2

Somma $y e^{x} + 2 e^{x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + 2 e^{x} - y e^{x}$

Passaggio 9.1.3.3

Sottrai $y e^{x}$ da $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x} + 0$

Passaggio 9.1.3.4

Somma $2 e^{x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x}$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $2 e^{x}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 2 e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 10.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$g (x) = 2 \int e^{x} d x$

Passaggio 10.4

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$g (x) = 2 (e^{x} + C)$

Passaggio 10.5

Semplifica.

$g (x) = 2 e^{x} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + 2 e^{x} + C$

Passaggio 12

Riordina i fattori in $f (x, y) = e^{x} y + x y^{2} + 2 e^{x} + C$ .

$f (x, y) = y e^{x} + x y^{2} + 2 e^{x} + C$