Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{y \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{y} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{y}{3}$ .

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3} (\frac{3}{y} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Combina.

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1}{y \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.3.2

Combina.

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{y (3 \cdot 1)}{3 (y \cos^{2} (x))}$

Passaggio 1.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{y (3 \cdot 1)}{3 (y \cos^{2} (x))}$

Passaggio 1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot 1}{3 (\cos^{2} (x))}$

Passaggio 1.3.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.3.5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.3.6

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ come ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Passaggio 1.3.7

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{y}{3} d y = \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{3} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int y d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ come $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} y^{2} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.3.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{1}{6} y^{2} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.3

Poiché la derivata di $\tan (x)$ è $\sec^{2} (x)$ , l'integrale di $\sec^{2} (x)$ è $\tan (x)$ .

$\frac{1}{6} y^{2} + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{6} y^{2} = \tan (x) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $6$ .

$6 (\frac{1}{6} y^{2}) = 6 (\tan (x) + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $6 (\frac{1}{6} y^{2})$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{6}$ e $y^{2}$ .

$6 \frac{y^{2}}{6} = 6 (\tan (x) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

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Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{y^{2}}{6} = 6 (\tan (x) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 6 (\tan (x) + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 6 \tan (x) + 6 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{6 \tan (x) + 6 K}$

Passaggio 3.4

Scomponi $6$ da $6 \tan (x) + 6 K$ .

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Passaggio 3.4.1

Scomponi $6$ da $6 \tan (x)$ .

$y = \pm \sqrt{6 (\tan (x)) + 6 K}$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $6$ da $6 K$ .

$y = \pm \sqrt{6 (\tan (x)) + 6 K}$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $6$ da $6 (\tan (x)) + 6 K$ .

$y = \pm \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

$y = \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

$y = \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$