Calcolo Esempi

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + 2 x]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2} + 2 x$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Passaggio 1.3

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [2 x]$

Passaggio 1.5

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Passaggio 1.6

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Somma $0$ e $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Passaggio 1.6.2

Somma $2 y$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 2.2

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $0$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 y = 0$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 y = 0$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y + 0}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $2 y$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $2 y$ a $N$ .

$\frac{2 y + 0}{2 y}$

Passaggio 4.3.2

Elimina il fattore comune di $2 y + 0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$\frac{2 (y) + 0}{2 y}$

Passaggio 4.3.2.2

Scomponi $2$ da $0$ .

$\frac{2 (y) + 2 \cdot 0}{2 y}$

Passaggio 4.3.2.3

Scomponi $2$ da $2 (y) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

Passaggio 4.3.2.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$\frac{2 (y + 0)}{2 (y)}$

Passaggio 4.3.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

Passaggio 4.3.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y + 0}{y}$

Passaggio 4.3.3

Somma $y$ e $0$ .

$\frac{y}{y}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{y}$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola costante.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$ per il fattore di integrazione $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $x^{2} + y^{2} + 2 x$ per $e^{x}$ .

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) e^{x} d x + 2 y d y = 0$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $2 y$ per $e^{x}$ .

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y e^{x} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = 2 y e^{x}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $2 e^{x}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2 e^{x}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 2 e^{x} \int y d y$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 8.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riscrivi $2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ come $2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.2

$\frac{2}{2}$ e $e^{x}$ .

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.3.2

Dividi $e^{x}$ per $1$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2} + g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} y^{2} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $e^{x} y^{2}$ rispetto a $x$ è $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Passaggio 11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Passaggio 11.5.2

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sottrai $y^{2} e^{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$

Passaggio 12.1.2

Combina i termini opposti in $x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Sottrai $y^{2} e^{x}$ da $y^{2} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 0$

Passaggio 12.1.2.2

Somma $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Passaggio 13.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (x) = \int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

Passaggio 13.4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2}$ e $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Passaggio 13.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$g (x) = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Passaggio 13.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Passaggio 13.7

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Passaggio 13.8

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

Passaggio 13.9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

Passaggio 13.10

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Passaggio 13.11

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Passaggio 13.12

Semplifica.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Passaggio 15

Semplifica $f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x}) + 2 (- e^{x}) + C$

Passaggio 15.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$

Passaggio 15.2

Combina i termini opposti in $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Somma $- 2 x e^{x}$ e $2 x e^{x}$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x} + C$

Passaggio 15.2.2

Somma $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ e $0$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x} + C$

Passaggio 15.2.3

Sottrai $2 e^{x}$ da $2 e^{x}$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 0 + C$

Passaggio 15.2.4

Somma $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x}$ e $0$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$

Passaggio 15.3

Riordina i fattori in $f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{x} + x^{2} e^{x} + C$