Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x + 2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2} y$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x + 2} y)$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.3.1

Scomponi $y$ da $\frac{x}{x + 2} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 2})$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 2})$

Passaggio 1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x + 2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi $x$ per $x + 2$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x$

$0$

Passaggio 2.3.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	+	$0$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$2$

Passaggio 2.3.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 2$

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$

Passaggio 2.3.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$
					-	$2$

Passaggio 2.3.1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - \frac{2}{x + 2} d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{2}{x + 2} d x$

Passaggio 2.3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 2.3.7

Sia $u = x + 2$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.7.1

Sia $u = x + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.7.1.1

Differenzia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 2.3.7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.7.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.7.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\ln (| u |) + C_{3})$

Passaggio 2.3.9

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 2 \ln (| u |) + C_{4}$

Passaggio 2.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x + 2 |) = x + C$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica $\ln (| y |) + 2 \ln (| x + 2 |)$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1.1

Semplifica $2 \ln (| x + 2 |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| y |) + \ln ({| x + 2 |}^{2}) = x + C$

Passaggio 3.2.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x + 2 |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (| y |) + \ln ({(x + 2)}^{2}) = x + C$

Passaggio 3.2.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x + C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y | {(x + 2)}^{2})} = e^{x + C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y | {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ .

$| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$

Passaggio 3.5.2

Dividi per ${(x + 2)}^{2}$ ciascun termine in $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ e semplifica.

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Passaggio 3.5.2.1

Dividi per ${(x + 2)}^{2}$ ciascun termine in $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ .

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di ${(x + 2)}^{2}$ .

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Passaggio 3.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.2.1.2

Dividi $| y |$ per $1$ .

$| y | = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{x + C}$ come $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C \frac{C e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$