Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 4 x \ln (x)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = 4 x \ln (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 4 x \ln (x) d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 4 x \ln (x) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 \int x \ln (x) d x$

Passaggio 2.3.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x$ .

$y + C_{1} = 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.3.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 2.3.3.2

$\ln (x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 2.3.3.3

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 2.3.3.4

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2}$ per $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Passaggio 2.3.3.5

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

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Passaggio 2.3.3.5.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Passaggio 2.3.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.3.5.2.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Passaggio 2.3.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Passaggio 2.3.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}))$

Passaggio 2.3.6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}))$

Passaggio 2.3.6.2

Riscrivi $4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}))$ come $4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.3

Riordina i termini.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = 4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + K$