Calcolo Esempi

$\frac{d q}{d t} + q = 4 \cos (2 t)$ , $q (0) = 1$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int d t}$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

$e^{t + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{t}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = e^{t} (4 \cos (2 t))$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = 4 e^{t} \cos (2 t)$

Passaggio 2.3

Riordina i fattori in $e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = 4 e^{t} \cos (2 t)$ .

$e^{t} \frac{d q}{d t} + q e^{t} = 4 e^{t} \cos (2 t)$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [e^{t} q] = 4 e^{t} \cos (2 t)$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} q] d t = \int 4 e^{t} \cos (2 t) d t$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{t} q = \int 4 e^{t} \cos (2 t) d t$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$e^{t} q = 4 \int e^{t} \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2

Riordina $e^{t}$ e $\cos (2 t)$ .

$e^{t} q = 4 \int \cos (2 t) e^{t} d t$

Passaggio 6.3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \cos (2 t)$ e $d v = e^{t}$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} - \int e^{t} (- 2 \sin (2 t)) d t)$

Passaggio 6.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} - (- 2 \int e^{t} (\sin (2 t)) d t))$

Passaggio 6.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 \int e^{t} (\sin (2 t)) d t)$

Passaggio 6.5.2

Riordina $e^{t}$ e $\sin (2 t)$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 \int \sin (2 t) e^{t} d t)$

Passaggio 6.6

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sin (2 t)$ e $d v = e^{t}$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - \int e^{t} (2 \cos (2 t)) d t))$

Passaggio 6.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - (2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t)))$

Passaggio 6.8

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - 2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t))$

Passaggio 6.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t}) + 2 (- 2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t))$

Passaggio 6.8.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t}) - 4 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t)$

Passaggio 6.9

Risolvendo $\int e^{t} \cos (2 t) d t$ , troviamo che $\int e^{t} \cos (2 t) d t$ = $\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t})}{5}$ .

$e^{t} q = 4 (\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t})}{5} + C)$

Passaggio 6.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.1

Riscrivi $4 (\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 \sin (2 t) e^{t}}{5} + C)$ come $4 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{5} + C$ .

$e^{t} q = 4 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{5} + C$

Passaggio 6.10.2

Semplifica.

$e^{t} q = \frac{4}{5} e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{t}$ ciascun termine in $e^{t} q = \frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $e^{t}$ ciascun termine in $e^{t} q = \frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))) + C$ .

$\frac{e^{t} q}{e^{t}} = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{t} q}{e^{t}} = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $q$ per $1$ .

$q = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$q = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 7.3.1.1.2

Dividi $\frac{4}{5} \cdot (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))$ per $1$ .

$q = \frac{4}{5} \cdot (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 7.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$q = \frac{4}{5} \cos (2 t) + \frac{4}{5} (2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 7.3.1.3

$\frac{4}{5}$ e $\cos (2 t)$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{4}{5} (2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 7.3.1.4

Moltiplica $\frac{4}{5} (2 \sin (2 t))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.4.1

$2$ e $\frac{4}{5}$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5} \sin (2 t) + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 7.3.1.4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8}{5} \sin (2 t) + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 7.3.1.4.3

$\frac{8}{5}$ e $\sin (2 t)$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 8

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $t$ con $0$ e $q$ con $1$ in $q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$ .

$1 = \frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}}$

Passaggio 9

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$ .

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica $\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0) + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Passaggio 9.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.2.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{4 \cos (0) + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Passaggio 9.2.1.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{4 \cdot 1 + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Passaggio 9.2.1.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{4 + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Passaggio 9.2.1.2.4

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{4 + 8 \sin (0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Passaggio 9.2.1.2.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{4 + 8 \cdot 0}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Passaggio 9.2.1.2.6

Moltiplica $8$ per $0$ .

$\frac{4 + 0}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Passaggio 9.2.1.3

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{4}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Passaggio 9.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.4.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{4}{5} + \frac{C}{1} = 1$

Passaggio 9.2.1.4.2

Dividi $C$ per $1$ .

$\frac{4}{5} + C = 1$

Passaggio 9.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Sottrai $\frac{4}{5}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 1 - \frac{4}{5}$

Passaggio 9.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$C = \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Passaggio 9.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$C = \frac{5 - 4}{5}$

Passaggio 9.3.4

Sottrai $4$ da $5$ .

$C = \frac{1}{5}$

Passaggio 10

Sostituisci $\frac{1}{5}$ a $C$ in $q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci $\frac{1}{5}$ a $C$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{e^{t}}$

Passaggio 10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{e^{t}}$

Passaggio 10.2.2

Combina.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 e^{t}}$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $1$ per $1$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1}{5 e^{t}}$