Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 6 x y - 2 x$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $2 x$ da $6 x y - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $2 x$ da $6 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (3 y) - 2 x$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $2 x$ da $- 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (3 y) + 2 x (- 1)$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (3 y) + 2 x (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (3 y - 1)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{3 y - 1}$ .

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 1} (2 x (3 y - 1))$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{3 y - 1} (x (3 y - 1))$

Passaggio 1.3.2

$2$ e $\frac{1}{3 y - 1}$ .

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 y - 1} (x (3 y - 1))$

Passaggio 1.3.3

Elimina il fattore comune di $3 y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Scomponi $3 y - 1$ da $x (3 y - 1)$ .

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 y - 1} ((3 y - 1) x)$

Passaggio 1.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 y - 1} ((3 y - 1) x)$

Passaggio 1.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3 y - 1} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{3 y - 1} d y = 2 x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{3 y - 1} d y = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 3 y - 1$ . Allora $d u = 3 d y$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 3 y - 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $3 y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [3 y - 1]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $y$ è $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 y - 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ come $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |) = x^{2} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |)) = 3 (x^{2} + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 1 |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $\ln (| 3 y - 1 |)$ .

$3 \frac{\ln (| 3 y - 1 |)}{3} = 3 (x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{\ln (| 3 y - 1 |)}{3} = 3 (x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 3 y - 1 |) = 3 (x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 3 y - 1 |) = 3 x^{2} + 3 C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 3 y - 1 |)} = e^{3 x^{2} + 3 C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (| 3 y - 1 |) = 3 x^{2} + 3 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3 x^{2} + 3 C} = | 3 y - 1 |$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $| 3 y - 1 | = e^{3 x^{2} + 3 C}$ .

$| 3 y - 1 | = e^{3 x^{2} + 3 C}$

Passaggio 3.5.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$3 y - 1 = \pm e^{3 x^{2} + 3 C}$

Passaggio 3.5.3

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 y = \pm e^{3 x^{2} + 3 C} + 1$

Passaggio 3.5.4

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = \pm e^{3 x^{2} + 3 C} + 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = \pm e^{3 x^{2} + 3 C} + 1$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 3 C}}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 3.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 3 C}}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 3.5.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 3 C}}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 3.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 3 C} + 1}{3}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2} + C} + 1}{3}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $e^{3 x^{2} + C}$ come $e^{3 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2}} e^{C} + 1}{3}$

Passaggio 4.3

Riordina $e^{3 x^{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{3 x^{2}} + 1}{3}$

Passaggio 4.4

Combina costanti con il più o il meno.

$y = \frac{C e^{3 x^{2}} + 1}{3}$