Calcolo Esempi

$y \frac{d y}{d x} - (1 + y) x^{2} = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y \frac{d y}{d x} + (- 1 \cdot 1 - y) x^{2} = 0$

Passaggio 1.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y \frac{d y}{d x} + (- 1 - y) x^{2} = 0$

Passaggio 1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y \frac{d y}{d x} - 1 x^{2} - y x^{2} = 0$

Passaggio 1.1.1.4

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$y \frac{d y}{d x} - x^{2} - y x^{2} = 0$

Passaggio 1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d y}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Somma $x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y \frac{d y}{d x} - y x^{2} = x^{2}$

Passaggio 1.1.2.2

Somma $y x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$

Passaggio 1.1.3

Dividi per $y$ ciascun termine in $y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi per $y$ ciascun termine in $y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$ .

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + x^{2}$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $\frac{x^{2}}{y} + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $\frac{x^{2}}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1}{y} + x^{2}$

Passaggio 1.2.1.2

Moltiplica per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1}{y} + x^{2} \cdot 1$

Passaggio 1.2.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} \frac{1}{y} + x^{2} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{1}{y} + 1)$

Passaggio 1.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{1}{y} + \frac{y}{y})$

Passaggio 1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1 + y}{y}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{y}{1 + y}$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} (x^{2} \frac{1 + y}{y})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

$x^{2}$ e $\frac{1 + y}{y}$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} \cdot \frac{x^{2} (1 + y)}{y}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} \cdot \frac{x^{2} (1 + y)}{y}$

Passaggio 1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (x^{2} (1 + y))$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune di $1 + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Scomponi $1 + y$ da $x^{2} (1 + y)$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x^{2})$

Passaggio 1.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x^{2})$

Passaggio 1.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{y}{1 + y} d y = x^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{1 + y} d y = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Riordina $1$ e $y$ .

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi $y$ per $y + 1$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Passaggio 2.2.2.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Passaggio 2.2.2.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y + 1$

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Passaggio 2.2.2.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Passaggio 2.2.2.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.4

Applica la regola costante.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.6

Sia $u = y + 1$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.6.1

Sia $u = y + 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.6.1.1

Differenzia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 2.2.6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.6.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.6.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.7

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.8

Semplifica.

$y - \ln (| u |) + C_{3} = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.2.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{3} x^{3} + C$