Calcolo Esempi

$(\frac{d y}{d x} + 1) = x e^{x + y}$

Passaggio 1

Sia $v = e^{x + y}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{x + y}$ con $v$ .

$(\frac{d y}{d x} + 1) = x v$

Passaggio 2

Trova $\frac{d v}{d x}$ differenziando $e^{x + y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (1 + y')$

Passaggio 3

Sostituisci $v$ a $e^{x + y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 + y')$

Passaggio 4

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$(\frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 0) = x v$

Passaggio 4.2

Somma $\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ e $0$ .

$(\frac{\frac{d v}{d x}}{v}) = x v$

Passaggio 5

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Risolvi per $\frac{d v}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica ogni lato per $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = x v \cdot v$

Passaggio 5.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = x v \cdot v$

Passaggio 5.1.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} = x v \cdot v$

Passaggio 5.1.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Moltiplica $v$ per $v$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1.1

Sposta $v$ .

$\frac{d v}{d x} = x (v \cdot v)$

Passaggio 5.1.2.2.1.2

Moltiplica $v$ per $v$ .

$\frac{d v}{d x} = x v^{2}$

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (x v^{2})$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $v^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $v^{2}$ da $x v^{2}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (v^{2} x)$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (v^{2} x)$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = x$

Passaggio 5.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{v^{2}} d v = x d x$

Passaggio 6

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int x d x$

Passaggio 6.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Sposta $v^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int x d x$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int x d x$

Passaggio 6.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int x d x$

Passaggio 6.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $v^{- 2}$ rispetto a $v$ è $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi $- v^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{v} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 6.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 6.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{v} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Passaggio 7

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Passaggio 7.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$v, 2, 1$

Passaggio 7.2.2

Poiché $v, 2, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 2, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $v^{1}$ .

Passaggio 7.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 7.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 7.2.5

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 7.2.6

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 7.2.7

Il minimo comune multiplo di $1, 2, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2$

Passaggio 7.2.8

Il fattore di $v^{1}$ è $v$ stesso.

$v^{1} = v$

$v$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 7.2.9

Il minimo comune multiplo (mcm) di $v^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$v$

Passaggio 7.2.10

Il minimo comune multiplo di $v, 2, 1$ è la parte numerica $2$ moltiplicata per la parte variabile.

$2 v$

Passaggio 7.3

Moltiplica per $2 v$ ciascun termine in $- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$ per $2 v$ .

$- \frac{1}{v} (2 v) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Passaggio 7.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{v}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{v} (2 v) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Passaggio 7.3.2.1.2

Scomponi $v$ da $2 v$ .

$\frac{- 1}{v} (v \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Passaggio 7.3.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{v} (v \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Passaggio 7.3.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Passaggio 7.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Passaggio 7.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} v + K (2 v)$

Passaggio 7.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} v + K (2 v)$

Passaggio 7.3.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 2 = x^{2} v + K (2 v)$

Passaggio 7.3.3.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 2 = x^{2} v + 2 K v$

Passaggio 7.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} v + 2 K v = - 2$ .

$x^{2} v + 2 K v = - 2$

Passaggio 7.4.2

Scomponi $v$ da $x^{2} v + 2 K v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Scomponi $v$ da $x^{2} v$ .

$v x^{2} + 2 K v = - 2$

Passaggio 7.4.2.2

Scomponi $v$ da $2 K v$ .

$v (x^{2}) + v (2 K) = - 2$

Passaggio 7.4.2.3

Scomponi $v$ da $v (x^{2}) + v (2 K)$ .

$v (x^{2} + 2 K) = - 2$

Passaggio 7.4.3

Dividi per $x^{2} + 2 K$ ciascun termine in $v (x^{2} + 2 K) = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.3.1

Dividi per $x^{2} + 2 K$ ciascun termine in $v (x^{2} + 2 K) = - 2$ .

$\frac{v (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Passaggio 7.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 2 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{v (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Passaggio 7.4.3.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Passaggio 7.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$v = - \frac{2}{x^{2} + 2 K}$

Passaggio 8

Semplifica la costante dell'integrazione.

$v = - \frac{2}{x^{2} + K}$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $e^{x + y}$ .

$e^{x + y} = - \frac{2}{x^{2} + K}$

Passaggio 10

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x + y}) = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Passaggio 10.2

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Espandi $\ln (e^{x + y})$ spostando $x + y$ fuori dal logaritmo.

$(x + y) \ln (e) = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Passaggio 10.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(x + y) \cdot 1 = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $x + y$ per $1$ .

$x + y = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Passaggio 10.3

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K}) - x$