Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - y x = x$ , $y (0) = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Somma $y x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = x + y x$

Passaggio 1.2

Scomponi $x$ da $x + y x$ .

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Passaggio 1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{1} + y x$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + y x$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $x$ da $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + x y$

Passaggio 1.2.4

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x (1 + y)$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (x (1 + y))$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $1 + y$ .

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Passaggio 1.4.1

Scomponi $1 + y$ da $x (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x)$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x)$

Passaggio 1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = x$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{1 + y} d y = x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Sia $u = 1 + y$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 1 + y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 1 + y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | 1 + y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| 1 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| 1 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 3.3.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$| 1 + y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Passaggio 3.3.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$1 + y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Passaggio 3.3.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C} - 1$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ come $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C} - 1$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $0$ in $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$ .

$0 = C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1$

Passaggio 6

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1 = 0$ .

$C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1 = 0$

Passaggio 6.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$C e^{\frac{0}{2}} - 1 = 0$

Passaggio 6.2.2

Dividi $0$ per $2$ .

$C e^{0} - 1 = 0$

Passaggio 6.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$C \cdot 1 - 1 = 0$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $C$ per $1$ .

$C - 1 = 0$

Passaggio 6.3

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 1$

Passaggio 7

Sostituisci $1$ a $C$ in $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Sostituisci $1$ a $C$ .

$y = 1 e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

Passaggio 7.2

Moltiplica $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ per $1$ .

$y = e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$