Calcolo Esempi

$\frac{d x}{d y} = 2 y + x + 3$

Passaggio 1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d x}{d y} - x = 2 y + 3$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (y) d y}$ , dove $P (y) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 1 d y}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{- y + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- y}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} + e^{- y} (- x) = e^{- y} (2 y) + e^{- y} \cdot 3$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = e^{- y} (2 y) + e^{- y} \cdot 3$

Passaggio 3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + e^{- y} \cdot 3$

Passaggio 3.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + 3 e^{- y}$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + 3 e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - x e^{- y} = 2 y e^{- y} + 3 e^{- y}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] = 2 y e^{- y} + 3 e^{- y}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d y} [e^{- y} x] d y = \int 2 y e^{- y} + 3 e^{- y} d y$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{- y} x = \int 2 y e^{- y} + 3 e^{- y} d y$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$e^{- y} x = \int 2 y e^{- y} d y + \int 3 e^{- y} d y$

Passaggio 7.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{- y} x = 2 \int y e^{- y} d y + \int 3 e^{- y} d y$

Passaggio 7.3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = y$ e $d v = e^{- y}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Passaggio 7.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Passaggio 7.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $\int e^{- y} d y$ per $1$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Passaggio 7.6

Sia $u_{1} = - y$ . Allora $d u_{1} = - d y$ , quindi $- d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Sia $u_{1} = - y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1.1

Differenzia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 7.6.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 7.6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 7.6.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 7.6.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- y} d y$

Passaggio 7.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- y} d y$

Passaggio 7.8

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int 3 e^{- y} d y$

Passaggio 7.9

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 \int e^{- y} d y$

Passaggio 7.10

Sia $u_{2} = - y$ . Allora $d u_{2} = - d y$ , quindi $- d u_{2} = d y$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.10.1

Sia $u_{2} = - y$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.10.1.1

Differenzia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 7.10.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 7.10.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 7.10.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 7.10.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 7.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 7.12

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) - 3 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 7.13

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) - 3 (e^{u_{2}} + C)$

Passaggio 7.14

Semplifica.

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) - 3 e^{u_{2}} + C$

Passaggio 7.15

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 7.15.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- y$ .

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{u_{2}} + C$

Passaggio 7.15.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- y$ .

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{- y}$ ciascun termine in $e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $e^{- y}$ ciascun termine in $e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$ .

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{2 (- y e^{- y}) + 2 (- e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Passaggio 8.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x = \frac{- 2 (y e^{- y}) + 2 (- e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Passaggio 8.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x = \frac{- 2 y e^{- y} - 2 e^{- y} - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Passaggio 8.3.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Sottrai $3 e^{- y}$ da $- 2 e^{- y}$ .

$x = \frac{- 2 y e^{- y} - 5 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Passaggio 8.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 2 y e^{- y}$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y}) - 5 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Passaggio 8.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- 5 e^{- y}$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y}) - (5 e^{- y}) + C}{e^{- y}}$

Passaggio 8.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (2 y e^{- y}) - (5 e^{- y})$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) + C}{e^{- y}}$

Passaggio 8.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $C$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) - 1 (- C)}{e^{- y}}$

Passaggio 8.3.3.6

Scomponi $- 1$ da $- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) - 1 (- C)$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)}{e^{- y}}$

Passaggio 8.3.3.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.3.3.7.1

Riscrivi $- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)$ come $- 1 (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)$ .

$x = \frac{- 1 (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)}{e^{- y}}$

Passaggio 8.3.3.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C}{e^{- y}}$