Calcolo Esempi

$(1 + e^{x}) (y d) y = e^{x} d x$

Passaggio 1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{1 + e^{x}}$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} ((1 + e^{x}) y) d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Elimina il fattore comune di $1 + e^{x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $1 + e^{x}$ da $(1 + e^{x}) y$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} ((1 + e^{x}) (y)) d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

Passaggio 2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + e^{x}} ((1 + e^{x}) y) d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

Passaggio 2.2

$\frac{1}{1 + e^{x}}$ e $e^{x}$ .

$y d y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Sia $u = 1 + e^{x}$ . Allora $d u = e^{x} d x$ , quindi $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Sia $u = 1 + e^{x}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.3.1.1.1

Differenzia $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Passaggio 3.3.1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.3.1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.3.1.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Passaggio 3.3.1.1.4

Somma $0$ e $e^{x}$ .

$e^{x}$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 3.3.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C_{2}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Passaggio 4.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Passaggio 4.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Passaggio 4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Passaggio 4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 \ln (| 1 + e^{x} |) + 2 C$

Passaggio 4.3

Semplifica $2 \ln (| 1 + e^{x} |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$y^{2} = \ln ({| 1 + e^{x} |}^{2}) + 2 C$

Passaggio 4.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\ln ({| 1 + e^{x} |}^{2}) + 2 C}$

Passaggio 4.5

Rimuovi il valore assoluto in ${| 1 + e^{x} |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$y = \pm \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Passaggio 4.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 4.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Passaggio 4.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Passaggio 4.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Passaggio 5

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + C}$