Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 9 \cdot \frac{1}{e^{y}} \cdot \cos (x)$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} (9 \cdot \frac{1}{e^{y}} \cdot \cos (x))$

Passaggio 1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 9 e^{y} (\frac{1}{e^{y}} \cos (x))$

Passaggio 1.2.2

$\frac{1}{e^{y}}$ e $\cos (x)$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 9 e^{y} \frac{\cos (x)}{e^{y}}$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $e^{y}$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $e^{y}$ da $9 e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 9 \frac{\cos (x)}{e^{y}}$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 9 \frac{\cos (x)}{e^{y}}$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 9 \cos (x)$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$e^{y} d y = 9 \cos (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int e^{y} d y = \int 9 \cos (x) d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 9 \cos (x) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$e^{y} + C_{1} = 9 \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = 9 (\sin (x) + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

$e^{y} + C_{1} = 9 \sin (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$e^{y} = 9 \sin (x) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (9 \sin (x) + K)$

Passaggio 3.2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Espandi $\ln (e^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (9 \sin (x) + K)$

Passaggio 3.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (9 \sin (x) + K)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = \ln (9 \sin (x) + K)$