Calcolo Esempi

$\frac{d s}{d t} = 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d s = 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d s = \int 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$s + C_{1} = \int 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $t$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = 12 \int t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 2 t^{2} - 1$ . Allora $d u = 4 t d t$ , quindi $\frac{1}{4} d u = t d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 2 t^{2} - 1$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $2 t^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t^{2} - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [2 t^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.2.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t^{2}$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.2.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$4 t + 0$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Somma $4 t$ e $0$ .

$4 t$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$s + C_{1} = 12 \int u^{3} \frac{1}{4} d u$

Passaggio 2.3.3

$u^{3}$ e $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = 12 \int \frac{u^{3}}{4} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = 12 (\frac{1}{4} \int u^{3} d u)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{4}$ e $12$ .

$s + C_{1} = \frac{12}{4} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2

Elimina il fattore comune di $12$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.5.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4 (1)} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$s + C_{1} = \frac{3}{1} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$s + C_{1} = 3 \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 3 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

Riscrivi $3 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ come $3 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 3 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

$3$ e $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{3}{4} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t^{2} - 1$ .

$s + C_{1} = \frac{3}{4} {(2 t^{2} - 1)}^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$s = \frac{3}{4} {(2 t^{2} - 1)}^{4} + K$