Calcolo Esempi

$(y + 4) d x + x d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(y + 4) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x d y = - (y + 4) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x (y + 4)}$ .

$\frac{1}{x (y + 4)} x d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x (y + 4)} x d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{1}{x (y + 4)} (y + 4) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $y + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x (y + 4)}$ nel numeratore.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{x (y + 4)} (y + 4) d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y + 4$ da $x (y + 4)$ .

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{(y + 4) x} (y + 4) d x$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{(y + 4) x} (y + 4) d x$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Passaggio 3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y + 4} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sia $u = y + 4$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sia $u = y + 4$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Differenzia $y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

Passaggio 4.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 4$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Passaggio 4.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

Passaggio 4.2.1.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $4$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y + 4$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y + 4 |) = - \ln (| x |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y + 4 |) + \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 4 | | x |) = C$

Passaggio 5.3

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| (y + 4) x |) = C$

Passaggio 5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y x + 4 x |) = C$

Passaggio 5.5

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y x + 4 x |)} = e^{C}$

Passaggio 5.6

Riscrivi $\ln (| y x + 4 x |) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x + 4 x |$

Passaggio 5.7

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Riscrivi l'equazione come $| y x + 4 x | = e^{C}$ .

$| y x + 4 x | = e^{C}$

Passaggio 5.7.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y x + 4 x = \pm e^{C}$

Passaggio 5.7.3

Sottrai $4 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x = \pm e^{C} - 4 x$

Passaggio 5.7.4

Dividi per $x$ ciascun termine in $y x = \pm e^{C} - 4 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.4.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $y x = \pm e^{C} - 4 x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Passaggio 5.7.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Passaggio 5.7.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Passaggio 5.7.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.4.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.4.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Passaggio 5.7.4.3.1.2

Dividi $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} - 4$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{C}{x} - 4$