Calcolo Esempi

$\frac{d P}{d t} = \frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} (\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2})$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} (\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2})$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} \frac{d P}{d t} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} d P = 1 d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} d P = \int d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Scomponi $P$ da $\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1.1

Scomponi $P$ da $\frac{1}{10} P$ .

$\int \frac{1}{P \frac{1}{10} - \frac{1}{5000} P^{2}} d P = \int d t$

Passaggio 2.2.1.1.1.2

Scomponi $P$ da $- \frac{1}{5000} P^{2}$ .

$\int \frac{1}{P \frac{1}{10} + P (- \frac{1}{5000} P)} d P = \int d t$

Passaggio 2.2.1.1.1.3

Scomponi $P$ da $P \frac{1}{10} + P (- \frac{1}{5000} P)$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{1}{10} - \frac{1}{5000} P)} d P = \int d t$

Passaggio 2.2.1.1.2

$P$ e $\frac{1}{5000}$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{1}{10} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

Passaggio 2.2.1.1.3

Per scrivere $\frac{1}{10}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{500}{500}$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{1}{10} \cdot \frac{500}{500} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

Passaggio 2.2.1.1.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $5000$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{10}$ per $\frac{500}{500}$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{500}{10 \cdot 500} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

Passaggio 2.2.1.1.4.2

Moltiplica $10$ per $500$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{500}{5000} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

Passaggio 2.2.1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \frac{1}{P \frac{500 - P}{5000}} d P = \int d t$

Passaggio 2.2.1.2

$P$ e $\frac{500 - P}{5000}$ .

$\int \frac{1}{\frac{P (500 - P)}{5000}} d P = \int d t$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\int 1 \frac{5000}{P (500 - P)} d P = \int d t$

Passaggio 2.2.1.4

Moltiplica $\frac{5000}{P (500 - P)}$ per $1$ .

$\int \frac{5000}{P (500 - P)} d P = \int d t$

Passaggio 2.2.2

Poiché $5000$ è costante rispetto a $P$ , sposta $5000$ fuori dall'integrale.

$5000 \int \frac{1}{P (500 - P)} d P = \int d t$

Passaggio 2.2.3

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{P} + \frac{B}{500 - P}$

Passaggio 2.2.3.1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $P (500 - P)$ .

$\frac{1 (P (500 - P))}{P (500 - P)} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Passaggio 2.2.3.1.3

Elimina il fattore comune di $P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (P (500 - P))}{P (500 - P)} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Passaggio 2.2.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (500 - P)}{500 - P} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Passaggio 2.2.3.1.4

Elimina il fattore comune di $500 - P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (500 - P)}{500 - P} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Passaggio 2.2.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Passaggio 2.2.3.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.5.1

Elimina il fattore comune di $P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Passaggio 2.2.3.1.5.1.2

Dividi $A (500 - P)$ per $1$ .

$1 = A (500 - P) + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Passaggio 2.2.3.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A \cdot 500 + A (- P) + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Passaggio 2.2.3.1.5.3

Sposta $500$ alla sinistra di $A$ .

$1 = 500 \cdot A + A (- P) + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Passaggio 2.2.3.1.5.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 500 \cdot A - A P + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Passaggio 2.2.3.1.5.5

Elimina il fattore comune di $500 - P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.5.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 = 500 A - A P + \frac{B (P (500 - P))}{500 - P}$

Passaggio 2.2.3.1.5.5.2

Dividi $(B) (P)$ per $1$ .

$1 = 500 A - A P + (B) (P)$

$1 = 500 A - A P + B P$

Passaggio 2.2.3.1.6

Sposta $500 A$ .

$1 = - A P + B P + 500 A$

Passaggio 2.2.3.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $P$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 2.2.3.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $P$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 500 A$

Passaggio 2.2.3.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 500 A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 500 A$

Passaggio 2.2.3.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = 500 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $500 A = 1$ .

$500 A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 2.2.3.3.1.2

Dividi per $500$ ciascun termine in $500 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1.2.1

Dividi per $500$ ciascun termine in $500 A = 1$ .

$\frac{500 A}{500} = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 2.2.3.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $500$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{500 A}{500} = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 2.2.3.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 2.2.3.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $\frac{1}{500}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = - 1 A + B$ con $\frac{1}{500}$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{500}) + B$

$A = \frac{1}{500}$

Passaggio 2.2.3.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.2.2.1

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{500})$ come $- (\frac{1}{500})$ .

$0 = - \frac{1}{500} + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - \frac{1}{500} + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - \frac{1}{500} + B$

$A = \frac{1}{500}$

Passaggio 2.2.3.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = - \frac{1}{500} + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{1}{500} + B = 0$ .

$- \frac{1}{500} + B = 0$

$A = \frac{1}{500}$

Passaggio 2.2.3.3.3.2

Somma $\frac{1}{500}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = \frac{1}{500}$

$A = \frac{1}{500}$

$B = \frac{1}{500}$

$A = \frac{1}{500}$

Passaggio 2.2.3.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = \frac{1}{500} A = \frac{1}{500}$

Passaggio 2.2.3.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = \frac{1}{500}, A = \frac{1}{500}$

Passaggio 2.2.3.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{P} + \frac{B}{500 - P}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{500}}{P} + \frac{\frac{1}{500}}{500 - P}$

Passaggio 2.2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{500} \cdot \frac{1}{P} + \frac{\frac{1}{500}}{500 - P}$

Passaggio 2.2.3.5.2

Moltiplica $\frac{1}{500}$ per $\frac{1}{P}$ .

$\frac{1}{500 P} + \frac{\frac{1}{500}}{500 - P}$

Passaggio 2.2.3.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{500 P} + \frac{1}{500} \cdot \frac{1}{500 - P}$

Passaggio 2.2.3.5.4

Moltiplica $\frac{1}{500}$ per $\frac{1}{500 - P}$ .

$5000 \int \frac{1}{500 P} + \frac{1}{500 (500 - P)} d P = \int d t$

Passaggio 2.2.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$5000 (\int \frac{1}{500 P} d P + \int \frac{1}{500 (500 - P)} d P) = \int d t$

Passaggio 2.2.5

Poiché $\frac{1}{500}$ è costante rispetto a $P$ , sposta $\frac{1}{500}$ fuori dall'integrale.

$5000 (\frac{1}{500} \int \frac{1}{P} d P + \int \frac{1}{500 (500 - P)} d P) = \int d t$

Passaggio 2.2.6

L'integrale di $\frac{1}{P}$ rispetto a $P$ è $\ln (| P |)$ .

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \int \frac{1}{500 (500 - P)} d P) = \int d t$

Passaggio 2.2.7

Poiché $\frac{1}{500}$ è costante rispetto a $P$ , sposta $\frac{1}{500}$ fuori dall'integrale.

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} \int \frac{1}{500 - P} d P) = \int d t$

Passaggio 2.2.8

Sia $u = 500 - P$ . Allora $d u = - d P$ , quindi $- d u = d P$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Sia $u = 500 - P$ . Trova $\frac{d u}{d P}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.2.8.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.8.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} \int \frac{- 1}{u} d u) = \int d t$

Passaggio 2.2.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} \int - \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Passaggio 2.2.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} (- \int \frac{1}{u} d u)) = \int d t$

Passaggio 2.2.11

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} (- (\ln (| u |) + C_{2}))) = \int d t$

Passaggio 2.2.12

Semplifica.

$5000 (\frac{\ln (| P |)}{500} - \frac{\ln (| u |)}{500}) + C_{3} = \int d t$

Passaggio 2.2.13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $500 - P$ .

$5000 (\frac{\ln (| P |)}{500} - \frac{\ln (| 500 - P |)}{500}) + C_{3} = \int d t$

Passaggio 2.2.14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.14.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5000 \frac{\ln (| P |) - \ln (| 500 - P |)}{500} + C_{3} = \int d t$

Passaggio 2.2.14.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5000 \frac{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{500} + C_{3} = \int d t$

Passaggio 2.2.14.3

Elimina il fattore comune di $500$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.14.3.1

Scomponi $500$ da $5000$ .

$500 (10) \frac{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{500} + C_{3} = \int d t$

Passaggio 2.2.14.3.2

Elimina il fattore comune.

$500 \cdot 10 \frac{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{500} + C_{3} = \int d t$

Passaggio 2.2.14.3.3

Riscrivi l'espressione.

$10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) + C_{3} = \int d t$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) + C_{3} = t + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = t + C$

Passaggio 3

Risolvi per $P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = t + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = t + C$ .

$\frac{10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{10} = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{10} = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi $\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})$ per $1$ .

$\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$

Passaggio 3.2

Per risolvere per $P$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})} = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} = \frac{| P |}{| 500 - P |}$

Passaggio 3.4

Risolvi per $P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| P |}{| 500 - P |} = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ .

$\frac{| P |}{| 500 - P |} = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica ogni lato per $| 500 - P |$ .

$\frac{| P |}{| 500 - P |} | 500 - P | = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Elimina il fattore comune di $| 500 - P |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| P |}{| 500 - P |} | 500 - P | = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |$

Passaggio 3.4.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| P | = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |$

Passaggio 3.4.4

Risolvi per $P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Riscrivi l'equazione come $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$ .

$e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$

Passaggio 3.4.4.2

Dividi per $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ ciascun termine in $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Dividi per $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ ciascun termine in $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$ .

$\frac{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}} = \frac{| P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}}$

Passaggio 3.4.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}} = \frac{| P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}}$

Passaggio 3.4.4.2.2.1.2

Dividi $| 500 - P |$ per $1$ .

$| 500 - P | = \frac{| P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}}$

Passaggio 3.4.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$| 500 - P | = \frac{| P |}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

Passaggio 3.4.4.3

Riscrivi l'equazione con valore assoluto come quattro equazioni senza le barre di valore assoluto

$500 - P = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$500 - P = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$- (500 - P) = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$- (500 - P) = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

Passaggio 3.4.4.4

Dopo la semplificazione, ci sono solo due equazioni univoche da risolvere.

$500 - P = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$500 - P = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

Passaggio 3.4.4.5

Risolvi $500 - P = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$ per $P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.1

Moltiplica ogni lato per $e^{\frac{t + C}{10}}$ .

$(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Passaggio 3.4.4.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.2.1.1

Semplifica $(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$500 e^{\frac{t + C}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Passaggio 3.4.4.5.2.1.1.2

Semplifica con la commutazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.2.1.1.2.1

Riordina $t$ e $C$ .

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Passaggio 3.4.4.5.2.1.1.2.2

Riordina $t$ e $C$ .

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Passaggio 3.4.4.5.2.1.1.2.3

Riordina $500 e^{\frac{C + t}{10}}$ e $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Passaggio 3.4.4.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{\frac{t + C}{10}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Passaggio 3.4.4.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = P$

Passaggio 3.4.4.5.3

Risolvi per $P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.3.1

Sottrai $P$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} - P = 0$

Passaggio 3.4.4.5.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $P$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.3.2.1

Sottrai $500 e^{\frac{C + t}{10}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} - P = - 500 e^{\frac{C + t}{10}}$

Passaggio 3.4.4.5.3.2.2

Dividi la frazione $\frac{C + t}{10}$ in due frazioni.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} - P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Passaggio 3.4.4.5.3.3

Scomponi $P$ da $- P e^{\frac{C + t}{10}} - P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.3.3.1

Scomponi $P$ da $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) - P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Passaggio 3.4.4.5.3.3.2

Scomponi $P$ da $- P$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot - 1 = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Passaggio 3.4.4.5.3.3.3

Scomponi $P$ da $P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot - 1$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Passaggio 3.4.4.5.3.4

Riscrivi $- 1 e^{\frac{C + t}{10}}$ come $- e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Passaggio 3.4.4.5.3.5

Dividi per $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1$ ciascun termine in $P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.3.5.1

Dividi per $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1$ ciascun termine in $P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ .

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Passaggio 3.4.4.5.3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Passaggio 3.4.4.5.3.5.2.1.2

Dividi $P$ per $1$ .

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Passaggio 3.4.4.5.3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.3.5.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Passaggio 3.4.4.5.3.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Passaggio 3.4.4.5.3.5.3.3

Scomponi $- 1$ da $- e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Passaggio 3.4.4.5.3.5.3.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (1)}$

Passaggio 3.4.4.5.3.5.3.5

Scomponi $- 1$ da $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}$

Passaggio 3.4.4.5.3.5.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.3.5.3.6.1

Riscrivi $- (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)$ come $- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}$

Passaggio 3.4.4.5.3.5.3.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$P = - - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Passaggio 3.4.4.5.3.5.3.6.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$P = 1 \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Passaggio 3.4.4.5.3.5.3.6.4

Moltiplica $\frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$ per $1$ .

$P = \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Passaggio 3.4.4.6

Risolvi $500 - P = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$ per $P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.1

Moltiplica ogni lato per $e^{\frac{t + C}{10}}$ .

$(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Passaggio 3.4.4.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.2.1.1

Semplifica $(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$500 e^{\frac{t + C}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Passaggio 3.4.4.6.2.1.1.2

Semplifica con la commutazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.2.1.1.2.1

Riordina $t$ e $C$ .

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Passaggio 3.4.4.6.2.1.1.2.2

Riordina $t$ e $C$ .

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{C + t}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Passaggio 3.4.4.6.2.1.1.2.3

Riordina $500 e^{\frac{C + t}{10}}$ e $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Passaggio 3.4.4.6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{\frac{t + C}{10}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$ nel numeratore.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{- P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Passaggio 3.4.4.6.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{- P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Passaggio 3.4.4.6.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = - P$

Passaggio 3.4.4.6.3

Risolvi per $P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.3.1

Somma $P$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} + P = 0$

Passaggio 3.4.4.6.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $P$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.3.2.1

Sottrai $500 e^{\frac{C + t}{10}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + P = - 500 e^{\frac{C + t}{10}}$

Passaggio 3.4.4.6.3.2.2

Dividi la frazione $\frac{C + t}{10}$ in due frazioni.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Passaggio 3.4.4.6.3.3

Scomponi $P$ da $- P e^{\frac{C + t}{10}} + P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.3.3.1

Scomponi $P$ da $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Passaggio 3.4.4.6.3.3.2

Eleva $P$ alla potenza di $1$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Passaggio 3.4.4.6.3.3.3

Scomponi $P$ da $P^{1}$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot 1 = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Passaggio 3.4.4.6.3.3.4

Scomponi $P$ da $P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot 1$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Passaggio 3.4.4.6.3.4

Riscrivi $- 1 e^{\frac{C + t}{10}}$ come $- e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Passaggio 3.4.4.6.3.5

Dividi per $- e^{\frac{C + t}{10}} + 1$ ciascun termine in $P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.3.5.1

Dividi per $- e^{\frac{C + t}{10}} + 1$ ciascun termine in $P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ .

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Passaggio 3.4.4.6.3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $- e^{\frac{C + t}{10}} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Passaggio 3.4.4.6.3.5.2.1.2

Dividi $P$ per $1$ .

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Passaggio 3.4.4.6.3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.3.5.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Passaggio 3.4.4.6.3.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Passaggio 3.4.4.6.3.5.3.3

Scomponi $- 1$ da $- e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Passaggio 3.4.4.6.3.5.3.4

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (- 1)}$

Passaggio 3.4.4.6.3.5.3.5

Scomponi $- 1$ da $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (- 1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}$

Passaggio 3.4.4.6.3.5.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.3.5.3.6.1

Riscrivi $- (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)$ come $- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}$

Passaggio 3.4.4.6.3.5.3.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$P = - - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Passaggio 3.4.4.6.3.5.3.6.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$P = 1 \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Passaggio 3.4.4.6.3.5.3.6.4

Moltiplica $\frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$ per $1$ .