Calcolo Esempi

$x (1 + y^{2}) d x = y d y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$y d y = x (1 + y^{2}) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{1 + y^{2}} (x (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{1 + y^{2}}$ e $y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + y^{2}} (x (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $1 + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $1 + y^{2}$ da $x (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x) d x$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x) d x$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = x d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int x d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sia $u = 1 + y^{2}$ . Allora $d u = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sia $u = 1 + y^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Differenzia $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Passaggio 4.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 4.2.1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 4.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Passaggio 4.2.1.1.5

Somma $0$ e $2 y$ .

$2 y$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int x d x$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int x d x$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

Passaggio 4.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Passaggio 4.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Passaggio 4.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 4.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 4.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Passaggio 5.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Passaggio 5.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = x^{2} + 2 C$

Passaggio 5.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 1 + y^{2} |)} = e^{x^{2} + 2 C}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $\ln (| 1 + y^{2} |) = x^{2} + 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + 2 C} = | 1 + y^{2} |$

Passaggio 5.5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $| 1 + y^{2} | = e^{x^{2} + 2 C}$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{x^{2} + 2 C}$

Passaggio 5.5.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm e^{x^{2} + 2 C}$

Passaggio 5.5.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 1$

Passaggio 5.5.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2} + 2 C} - 1}$

Passaggio 6

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 6.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2} + C} - 1}$

Passaggio 6.2

Riscrivi $e^{x^{2} + C}$ come $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2}} e^{C} - 1}$

Passaggio 6.3

Riordina $e^{x^{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{x^{2}} - 1}$

Passaggio 6.4

Combina costanti con il più o il meno.

$y = \pm \sqrt{C e^{x^{2}} - 1}$