Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = - 4 e^{x - 8}$ , $y (8) = 8$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = - 4 e^{x - 8} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int - 4 e^{x - 8} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int - 4 e^{x - 8} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - 4 \int e^{x - 8} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = x - 8$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = x - 8$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $x - 8$ .

$\frac{d}{d x} [x - 8]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = - 4 \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - 4 (e^{u} + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$y + C_{1} = - 4 e^{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 8$ .

$y + C_{1} = - 4 e^{x - 8} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - 4 e^{x - 8} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $8$ e $y$ con $8$ in $y = - 4 e^{x - 8} + K$ .

$8 = - 4 e^{8 - 8} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- 4 e^{8 - 8} + K = 8$ .

$- 4 e^{8 - 8} + K = 8$

Passaggio 4.2

Semplifica $- 4 e^{8 - 8} + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $8$ da $8$ .

$- 4 e^{0} + K = 8$

Passaggio 4.2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- 4 \cdot 1 + K = 8$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 4 + K = 8$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$K = 8 + 4$

Passaggio 4.3.2

Somma $8$ e $4$ .

$K = 12$

Passaggio 5

Sostituisci $12$ a $K$ in $y = - 4 e^{x - 8} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $12$ a $K$ .

$y = - 4 e^{x - 8} + 12$