Calcolo Esempi

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

Passaggio 1.1.1.2

Moltiplica $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

Passaggio 1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d y}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 1 = - y^{2}$

Passaggio 1.1.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $\frac{d y}{d x}$ da $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Scomponi $\frac{d y}{d x}$ da $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

Passaggio 1.1.3.2

Eleva $\frac{d y}{d x}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

Passaggio 1.1.3.3

Scomponi $\frac{d y}{d x}$ da ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - y^{2} - 1$

Passaggio 1.1.3.4

Scomponi $\frac{d y}{d x}$ da $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$

Passaggio 1.1.4

Dividi per $x^{2} + 1$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Dividi per $x^{2} + 1$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.3.2

Scomponi $- 1$ da $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2}) - 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.3.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2}) - 1 (1)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (y^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.5.1

Riscrivi $- (y^{2} + 1)$ come $- 1 (y^{2} + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 (y^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (- \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $y^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y^{2} + 1}$ nel numeratore.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Riordina $y^{2}$ e $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ rispetto a $y$ è $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Riordina $x^{2}$ e $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\arctan (y) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $- \arctan (x) + K = \arctan (y)$ .

$- \arctan (x) + K = \arctan (y)$

Passaggio 3.2

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \arctan (x) = \arctan (y) - K$

Passaggio 3.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ .

$\frac{- \arctan (x)}{- 1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\arctan (x)}{1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 3.3.2.2

Dividi $\arctan (x)$ per $1$ .

$\arctan (x) = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\arctan (y)}{- 1}$ .

$\arctan (x) = - 1 \cdot \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot \arctan (y)$ come $- \arctan (y)$ .

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.1.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{K}{1}$

Passaggio 3.3.3.1.4

Dividi $K$ per $1$ .

$\arctan (x) = - \arctan (y) + K$

Passaggio 3.4

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$x = \tan (- \arctan (y) + K)$

Passaggio 3.5

Riscrivi l'equazione come $\tan (- \arctan (y) + K) = x$ .

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

Passaggio 3.6

Trova il valore dell'incognita $\arctan (y)$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

Passaggio 3.7

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

Passaggio 3.8

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 3.8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 3.8.2.2

Dividi $\arctan (y)$ per $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 3.8.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot \arctan (x)$ come $- \arctan (x)$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 3.8.3.1.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

Passaggio 3.8.3.1.4

Dividi $K$ per $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Passaggio 3.9

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$

Passaggio 3.10

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

Passaggio 3.11

Trova il valore dell'incognita $\arctan (y)$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

Passaggio 3.12

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

Passaggio 3.13

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 3.13.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 3.13.2.2

Dividi $\arctan (y)$ per $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 3.13.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 3.13.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot \arctan (x)$ come $- \arctan (x)$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Passaggio 3.13.3.1.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

Passaggio 3.13.3.1.4

Dividi $K$ per $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Passaggio 3.14

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$