Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + 6 y \cos (3 x) = \cos (3 x)$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $6 y \cos (3 x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) - 6 y \cos (3 x)$

Passaggio 1.2

Scomponi $\cos (3 x)$ da $\cos (3 x) - 6 y \cos (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) \cdot 1 - 6 y \cos (3 x)$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $\cos (3 x)$ da $- 6 y \cos (3 x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) \cdot 1 + \cos (3 x) (- 6 y)$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $\cos (3 x)$ da $\cos (3 x) \cdot 1 + \cos (3 x) (- 6 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) (1 - 6 y)$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{1 - 6 y}$ .

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 6 y} (\cos (3 x) (1 - 6 y))$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $1 - 6 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $1 - 6 y$ da $\cos (3 x) (1 - 6 y)$ .

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 6 y} ((1 - 6 y) \cos (3 x))$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 6 y} ((1 - 6 y) \cos (3 x))$

Passaggio 1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \cos (3 x)$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{1 - 6 y} d y = \cos (3 x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{1 - 6 y} d y = \int \cos (3 x) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u_{1} = 1 - 6 y$ . Allora $d u_{1} = - 6 d y$ , quindi $- \frac{1}{6} d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u_{1} = 1 - 6 y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $1 - 6 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 6 y]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 6 y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- 6 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 6 y$ rispetto a $y$ è $- 6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 6 \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.1.3.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$0 - 6$

Passaggio 2.2.1.1.4

Sottrai $6$ da $0$ .

$- 6$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 6} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{6}) d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{u_{1}}$ per $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 6} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Passaggio 2.2.2.3

Sposta $6$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\int - \frac{1}{6 u_{1}} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{6 u_{1}} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int \cos (3 x) d x$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \cos (3 x) d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$- \frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 - 6 y$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u_{2} = 3 x$ . Allora $d u_{2} = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u_{2} = 3 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Passaggio 2.3.2

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (3 x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 6$ .

$- 6 (- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |)) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $- 6 (- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\ln (| 1 - 6 y |)$ e $\frac{1}{6}$ .

$- 6 (- \frac{\ln (| 1 - 6 y |)}{6}) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (| 1 - 6 y |)}{6}$ nel numeratore.

$- 6 \frac{- \ln (| 1 - 6 y |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Scomponi $6$ da $- 6$ .

$6 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 6 y |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$6 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 6 y |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- - \ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.3.2

Moltiplica $\ln (| 1 - 6 y |)$ per $1$ .

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $- 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{3}$ e $\sin (3 x)$ .

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{\sin (3 x)}{3} + C)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 6 \frac{\sin (3 x)}{3} - 6 C$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$\ln (| 1 - 6 y |) = 3 (- 2) \frac{\sin (3 x)}{3} - 6 C$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| 1 - 6 y |) = 3 \cdot - 2 \frac{\sin (3 x)}{3} - 6 C$

Passaggio 3.2.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 2 \sin (3 x) - 6 C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 1 - 6 y |)} = e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (| 1 - 6 y |) = - 2 \sin (3 x) - 6 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} = | 1 - 6 y |$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $| 1 - 6 y | = e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$ .

$| 1 - 6 y | = e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$

Passaggio 3.5.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$1 - 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$

Passaggio 3.5.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} - 1$

Passaggio 3.5.4

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} - 1$ .

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

Passaggio 3.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

Passaggio 3.5.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

Passaggio 3.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.3.1.1

Semplifica $\frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6}$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{6} + \frac{- 1}{- 6}$

Passaggio 3.5.4.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{6} + \frac{1}{6}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) + C}}{6} + \frac{1}{6}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $e^{- 2 \sin (3 x) + C}$ come $e^{- 2 \sin (3 x)} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x)} e^{C}}{6} + \frac{1}{6}$

Passaggio 4.3

Riordina $e^{- 2 \sin (3 x)}$ e $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 \sin (3 x)}}{6} + \frac{1}{6}$

Passaggio 4.4

Combina costanti con il più o il meno.

$y = \frac{C e^{- 2 \sin (3 x)}}{6} + \frac{1}{6}$