Calcolo Esempi

$(a^{2} - 2 x y - y^{2}) d x - {(x + y)}^{2} d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = a^{2} - 2 x y - y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [a^{2} - 2 x y - y^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a^{2} - 2 x y - y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [a^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [a^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $a^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $a^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2 x y$ rispetto a $y$ è $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x - (2 y)$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x - 2 y$

Passaggio 1.5

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x - 2 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - {(x + y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- {(x + y)}^{2}]$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${(x + y)}^{2}$ come $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- ((x + y) (x + y))]$

Passaggio 2.3

Espandi $(x + y) (x + y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x (x + y) + y (x + y))]$

Passaggio 2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x \cdot x + x y + y (x + y))]$

Passaggio 2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y)]$

Passaggio 2.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + x y + y x + y \cdot y)]$

Passaggio 2.4.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + x y + y x + y^{2})]$

Passaggio 2.4.2

Somma $x y$ e $y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Riordina $y$ e $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + x y + x y + y^{2})]$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $x y$ e $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + 2 x y + y^{2})]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (x^{2} + 2 x y + y^{2})$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$

Passaggio 2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 2.8

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 2.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 2.11

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y + 0)$

Passaggio 2.12

Somma $2 x + 2 y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y)$

Passaggio 2.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x) - (2 y)$

Passaggio 2.13.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - (2 y)$

Passaggio 2.13.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - 2 y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 2 x - 2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 x - 2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 2 x - 2 y = - 2 x - 2 y$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$- 2 x - 2 y = - 2 x - 2 y$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - {(x + y)}^{2} d y$

Passaggio 5

Integra $N (x, y) = - {(x + y)}^{2}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = - \int {(x + y)}^{2} d y$

Passaggio 5.2

Sia $u = x + y$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sia $u = x + y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Differenzia $x + y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y]$

Passaggio 5.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 5.2.1.3

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 5.2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 5.2.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$f (x, y) = - \int u^{2} d u$

Passaggio 5.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 5.4

Riscrivi $- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ come $- \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 5.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $- \frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{3}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + y$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 8.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 8.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 8.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 8.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 8.3.5

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 8.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 8.3.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 8.3.8

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 8.3.9

$- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 8.3.10

$\frac{- 3}{3}$ e ${(x + y)}^{2}$ .

$\frac{- 3 {(x + y)}^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 8.3.11

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.11.1

Scomponi $3$ da $- 3 {(x + y)}^{2}$ .

$\frac{3 (- {(x + y)}^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 8.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.11.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (- {(x + y)}^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 8.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- {(x + y)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 8.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- {(x + y)}^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 8.3.11.2.4

Dividi $- {(x + y)}^{2}$ per $1$ .

$- {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$- {(x + y)}^{2} + \frac{d g}{d x} = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 8.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} - {(x + y)}^{2} = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Somma ${(x + y)}^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2}$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2} d x$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2} d x$

Passaggio 10.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (x) = \int a^{2} d x + \int - 2 x y d x + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

Passaggio 10.4

Applica la regola costante.

$g (x) = a^{2} x + C + \int - 2 x y d x + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

Passaggio 10.5

Poiché $- 2 y$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2 y$ fuori dall'integrale.

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y \int x d x + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

Passaggio 10.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

Passaggio 10.7

Applica la regola costante.

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y^{2} x + C + \int {(x + y)}^{2} d x$

Passaggio 10.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) - y^{2} x + C + \int {(x + y)}^{2} d x$

Passaggio 10.9

Sia $u = x + y$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.9.1

Sia $u = x + y$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.9.1.1

Differenzia $x + y$ .

$\frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 10.9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 10.9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 10.9.1.4

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 10.9.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 10.9.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) - y^{2} x + C + \int u^{2} d u$

Passaggio 10.10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) - y^{2} x + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 10.11

Semplifica.

$g (x) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 10.12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$g (x) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Passaggio 12

Combina i termini opposti in $- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Somma $- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ e $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ .

$f (x, y) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + 0 + C$

Passaggio 12.2

Somma $a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x$ e $0$ .

$f (x, y) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + C$