Calcolo Esempi

$\frac{d x}{d t} = x^{2} + \frac{1}{9}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} (x^{2} + \frac{1}{9})$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2} + \frac{1}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} (x^{2} + \frac{1}{9})$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} \frac{d x}{d t} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} d x = 1 d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} d x = \int d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riordina $x^{2}$ e $\frac{1}{9}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x = \int d t$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{9}$ come ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

Passaggio 2.2.3

L'integrale di $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{3}$ .

$1 \cdot 3 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.4.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{3}$ .

$3 \arctan (x \cdot 3) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.4.4

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$3 \arctan (3 x) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$3 \arctan (3 x) + C_{1} = t + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$3 \arctan (3 x) = t + K$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \arctan (3 x) = t + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \arctan (3 x) = t + K$ .

$\frac{3 \arctan (3 x)}{3} = \frac{t}{3} + \frac{K}{3}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \arctan (3 x)}{3} = \frac{t}{3} + \frac{K}{3}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi $\arctan (3 x)$ per $1$ .

$\arctan (3 x) = \frac{t}{3} + \frac{K}{3}$

Passaggio 3.2

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ da dentro l'arcotangente.

$3 x = \tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})$

Passaggio 3.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})}{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})}{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})}{3}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$x = \frac{\tan (\frac{t}{3} + K)}{3}$