Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + 2 x y - 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Passaggio 1

Somma $2 x e^{- x^{2}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = 2 x e^{- x^{2}}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 2 x d x}$

Passaggio 2.2

Integra $2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 \int x d x}$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 2.2.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{1 x^{2} + C}$

Passaggio 2.2.3.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{x^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} (2 x e^{- x^{2}})$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (2 x e^{- x^{2}})$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} (x e^{- x^{2}})$

Passaggio 3.4

Moltiplica $e^{x^{2}}$ per $e^{- x^{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1

Sposta $e^{- x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 (e^{- x^{2}} e^{x^{2}}) x$

Passaggio 3.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{- x^{2} + x^{2}} x$

Passaggio 3.4.3

Somma $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{0} x$

Passaggio 3.5

Semplifica $2 e^{0} x$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 x$

Passaggio 3.6

Riordina i fattori in $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 x$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 2 x$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 2 x$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 2 x d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{x^{2}} y = \int 2 x d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{x^{2}} y = 2 \int x d x$

Passaggio 7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 7.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Passaggio 7.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Passaggio 7.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Passaggio 7.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{x^{2}} y = 1 x^{2} + C$

Passaggio 7.3.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$e^{x^{2}} y = x^{2} + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{x^{2}}$ ciascun termine in $e^{x^{2}} y = x^{2} + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $e^{x^{2}}$ ciascun termine in $e^{x^{2}} y = x^{2} + C$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x^{2}}$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$