Calcolo Esempi

$x \cdot \frac{d y}{d x} + 3 y = \frac{1}{5} x^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \cdot \frac{d y}{d x} + 3 y = \frac{1}{5} x^{2}$ .

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{2}}{x}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{2}}{x}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{2}}{x}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $x$ da $\frac{1}{5} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (\frac{1}{5} x)}{x}$

Passaggio 1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (\frac{1}{5} x)}{x^{1}}$

Passaggio 1.3.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (\frac{1}{5} x)}{x \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (\frac{1}{5} x)}{x \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x}{1}$

Passaggio 1.3.2.5

Dividi $\frac{1}{5} x$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{1}{5} x$

Passaggio 1.4

Scomponi $y$ da $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = \frac{1}{5} x$

Passaggio 1.5

Riordina $y$ e $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = \frac{1}{5} x$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{3}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{3}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{3 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{3})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{3}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{3}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

$\frac{3}{x}$ e $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} (\frac{1}{5} x)$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1}{5} x^{3} x$

Passaggio 3.4

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1

Sposta $x$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1}{5} (x \cdot x^{3})$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1}{5} (x^{1} x^{3})$

Passaggio 3.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1}{5} x^{1 + 3}$

Passaggio 3.4.3

Somma $1$ e $3$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1}{5} x^{4}$

Passaggio 3.5

$\frac{1}{5}$ e $x^{4}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{x^{4}}{5}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = \frac{x^{4}}{5}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int \frac{x^{4}}{5} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$x^{3} y = \int \frac{x^{4}}{5} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$x^{3} y = \frac{1}{5} \int x^{4} d x$

Passaggio 7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{3} y = \frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Passaggio 7.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.3.1

Riscrivi $\frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ come $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$ .

$x^{3} y = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

Passaggio 7.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{1}{5}$ .

$x^{3} y = \frac{1}{5 \cdot 5} x^{5} + C$

Passaggio 7.3.2.2

Moltiplica $5$ per $5$ .

$x^{3} y = \frac{1}{25} x^{5} + C$

Passaggio 8

Dividi per $x^{3}$ ciascun termine in $x^{3} y = \frac{1}{25} x^{5} + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $x^{3}$ ciascun termine in $x^{3} y = \frac{1}{25} x^{5} + C$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{25} x^{5}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{25} x^{5}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{25} x^{5}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ e $x^{3}$ .

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Passaggio 8.3.1.1.1

Scomponi $x^{3}$ da $\frac{1}{25} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{25} x^{2})}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{25} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{25} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\frac{1}{25} x^{2}}{1} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.4

Dividi $\frac{1}{25} x^{2}$ per $1$ .

$y = \frac{1}{25} x^{2} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.2

$\frac{1}{25}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{25} + \frac{C}{x^{3}}$