Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + x}{y + 1}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y + 1$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x^{2} + x}{y + 1}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x \cdot x + x}{y + 1}$

Passaggio 1.2.1.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x \cdot x + x^{1}}{y + 1}$

Passaggio 1.2.1.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x \cdot x + x \cdot 1}{y + 1}$

Passaggio 1.2.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x (x + 1)}{y + 1}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x (x + 1)}{y + 1}$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x (x + 1)$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 1$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 1$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(y + 1) d y = (x^{2} + x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y + 1 d y = \int x^{2} + x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y d y + \int d y = \int x^{2} + x d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int d y = \int x^{2} + x d x$

Passaggio 2.2.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} = \int x^{2} + x d x$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x^{2} + x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int x d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Passaggio 3.2.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + K$

Passaggio 3.3

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sottrai $\frac{x^{3}}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $\frac{x^{2}}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} = K$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - K = 0$

Passaggio 3.4

Moltiplica per il minimo comune denominatore $6$ , quindi semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 (\frac{y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 (3) (\frac{y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot (3 (\frac{y^{2}}{2})) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$3 y^{2} + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{3}}{3}$ nel numeratore.

$3 y^{2} + 6 y + 6 (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.2.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 y^{2} + 6 y + 3 (2) (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$3 y^{2} + 6 y + 3 \cdot (2 (\frac{- x^{3}}{3})) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$3 y^{2} + 6 y + 2 (- x^{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{2}}{2}$ nel numeratore.

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 6 (\frac{- x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.4.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 2 (3) (\frac{- x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.4.3

Elimina il fattore comune.

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 2 \cdot (3 (\frac{- x^{2}}{2})) + 6 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.4.4

Riscrivi l'espressione.

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 3 (- x^{2}) + 6 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.6

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K = 0$

Passaggio 3.4.3

Sposta $6 y$ .

$3 y^{2} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K + 6 y = 0$

Passaggio 3.4.4

Riordina $3 y^{2}$ e $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} + 3 y^{2} - 3 x^{2} - 6 K + 6 y = 0$

Passaggio 3.5

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.6

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = 6$ e $c = - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 (- 2 x^{3}) - 12 (- 3 x^{2}) - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.4.1

Moltiplica $- 2$ per $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 x^{3} - 12 (- 3 x^{2}) - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.1.4.2

Moltiplica $- 3$ per $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 x^{3} + 36 x^{2} - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.1.4.3

Moltiplica $- 6$ per $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.1.5

Scomponi $12$ da $36 + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.5.1

Scomponi $12$ da $36$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.1.5.2

Scomponi $12$ da $24 x^{3}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 x^{3}) + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.1.5.3

Scomponi $12$ da $36 x^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.1.5.4

Scomponi $12$ da $72 K$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.1.5.5

Scomponi $12$ da $12 (3) + 12 (2 x^{3})$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.1.5.6

Scomponi $12$ da $12 (3 + 2 x^{3}) + 12 (3 x^{2})$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.1.5.7

Scomponi $12$ da $12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2}) + 12 (6 K)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.1.6

Riscrivi $12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)$ come $2^{2} \cdot (3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.6.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3) (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.1.6.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.1.6.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{6}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{6}$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Passaggio 3.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K + 3)}}{3}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K + 3)}}{3}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + K)}}{3}$