Calcolo Esempi

$\frac{d v}{d t} = \frac{7}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)$ , $v (0) = 3$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d v = (\frac{7}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d v = \int \frac{7}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$v + C_{1} = \int \frac{7}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$v + C_{1} = \int \frac{7}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $t$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$v + C_{1} = 7 \int \frac{1}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$v + C_{1} = 7 \int \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ rispetto a $t$ è $\arctan (t) + C_{2}$ .

$v + C_{1} = 7 (\arctan (t) + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.5

Poiché la derivata di $\tan (t)$ è $\sec^{2} (t)$ , l'integrale di $\sec^{2} (t)$ è $\tan (t)$ .

$v + C_{1} = 7 (\arctan (t) + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$v + C_{1} = 7 \arctan (t) + \tan (t) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$v = 7 \arctan (t) + \tan (t) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $0$ e $v$ con $3$ in $v = 7 \arctan (t) + \tan (t) + K$ .

$3 = 7 \arctan (0) + \tan (0) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $7 \arctan (0) + \tan (0) + K = 3$ .

$7 \arctan (0) + \tan (0) + K = 3$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica $7 \arctan (0) + \tan (0) + K$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$7 \cdot 0 + \tan (0) + K = 3$

Passaggio 4.2.1.1.2

Moltiplica $7$ per $0$ .

$0 + \tan (0) + K = 3$

Passaggio 4.2.1.1.3

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$0 + 0 + K = 3$

Passaggio 4.2.1.2

Combina i termini opposti in $0 + 0 + K$ .

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Passaggio 4.2.1.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + K = 3$

Passaggio 4.2.1.2.2

Somma $0$ e $K$ .

$K = 3$

Passaggio 5

Sostituisci $3$ a $K$ in $v = 7 \arctan (t) + \tan (t) + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $3$ a $K$ .

$v = 7 \arctan (t) + \tan (t) + 3$