Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1}$ , $y (1) = 3$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (3 x^{- 5} + 4 x^{- 1}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 5} d x + \int 4 x^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 5} d x + \int 4 x^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

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Passaggio 2.3.4.1

$x^{- 4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.4.2

Sposta $x^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + 4 \int x^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{- 3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 2.3.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $3$ in $y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$ .

$3 = - \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$ .

$- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Passaggio 4.2

Semplifica $- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{3}{4 \cdot 1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Passaggio 4.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \ln (1) + C = 3$

Passaggio 4.2.1.4

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \cdot 0 + C = 3$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $4$ per $0$ .

$- \frac{3}{4} + 0 + C = 3$

Passaggio 4.2.2

Somma $- \frac{3}{4}$ e $0$ .

$- \frac{3}{4} + C = 3$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Somma $\frac{3}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 3 + \frac{3}{4}$

Passaggio 4.3.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$C = 3 \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

Passaggio 4.3.3

$3$ e $\frac{4}{4}$ .

$C = \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{3}{4}$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$C = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$C = \frac{12 + 3}{4}$

Passaggio 4.3.5.2

Somma $12$ e $3$ .

$C = \frac{15}{4}$

Passaggio 5

Sostituisci $\frac{15}{4}$ a $C$ in $y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $\frac{15}{4}$ a $C$ .

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + \frac{15}{4}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica $4 \ln (| x |)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + \ln ({| x |}^{4}) + \frac{15}{4}$

Passaggio 5.2.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{4}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + \ln (x^{4}) + \frac{15}{4}$