Calcolo Esempi

$\frac{d s}{d t} = 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d s = 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d s = \int 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$s + C_{1} = \int 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $t$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = 8 \int t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 3 t^{2} - 5$ . Allora $d u = 6 t d t$ , quindi $\frac{1}{6} d u = t d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 3 t^{2} - 5$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $3 t^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 5]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 t^{2} - 5$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t^{2}$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 5]$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 t + \frac{d}{d t} [- 5]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.4.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $t$ è $0$ .

$6 t + 0$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Somma $6 t$ e $0$ .

$6 t$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$s + C_{1} = 8 \int u^{3} \frac{1}{6} d u$

Passaggio 2.3.3

$u^{3}$ e $\frac{1}{6}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \frac{u^{3}}{6} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{6} \int u^{3} d u)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{6}$ e $8$ .

$s + C_{1} = \frac{8}{6} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (4)}{6} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$s + C_{1} = \frac{4}{3} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{4}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Riscrivi $\frac{4}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ come $\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{4}{3 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$s + C_{1} = \frac{4}{12} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$s + C_{1} = \frac{4 (1)}{12} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$s + C_{1} = \frac{1}{3} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 t^{2} - 5$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{3} {(3 t^{2} - 5)}^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$s = \frac{1}{3} {(3 t^{2} - 5)}^{4} + K$