Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x} \cdot e^{2 y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{3 x} \cdot e^{2 y})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{2 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $e^{2 y}$ da $e^{3 x} \cdot e^{2 y}$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} (e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}))$

Passaggio 1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} (e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}))$

Passaggio 1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $e^{3 x - 2 y}$ per $e^{2 y}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x - 2 y + 2 y}$

Passaggio 1.2.2.2

Combina i termini opposti in $3 x - 2 y + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Somma $- 2 y$ e $2 y$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x + 0}$

Passaggio 1.2.2.2.2

Somma $3 x$ e $0$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{e^{2 y}} d y = e^{3 x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{e^{2 y}} d y = \int e^{3 x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Nega l'esponente di $e^{2 y}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int 1 {(e^{2 y})}^{- 1} d y = \int e^{3 x} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{2 y})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{2 y \cdot - 1} d y = \int e^{3 x} d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\int 1 e^{- 2 y} d y = \int e^{3 x} d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $e^{- 2 y}$ per $1$ .

$\int e^{- 2 y} d y = \int e^{3 x} d x$

Passaggio 2.2.2

Sia $u_{1} = - 2 y$ . Allora $d u_{1} = - 2 d y$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sia $u_{1} = - 2 y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Differenzia $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2 y$ rispetto a $y$ è $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 2.2.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Passaggio 2.2.3.2

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Passaggio 2.2.5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) = \int e^{3 x} d x$

Passaggio 2.2.6

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int e^{3 x} d x$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$- \frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

Passaggio 2.2.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- 2 y$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u_{2} = 3 x$ . Allora $d u_{2} = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u_{2} = 3 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Passaggio 2.3.2

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$e^{- 2 y}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{- 2 y}}{2}$ nel numeratore.

$- 2 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- - e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.3.2

Moltiplica $e^{- 2 y}$ per $1$ .

$e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $- 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$e^{- 2 y} = - 2 (\frac{e^{3 x}}{3} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{- 2 y} = - 2 \frac{e^{3 x}}{3} - 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

$- 2$ e $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{- 2 y} = \frac{- 2 e^{3 x}}{3} - 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- 2 y} = - \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K$

Passaggio 3.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- 2 y}) = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Passaggio 3.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Espandi $\ln (e^{- 2 y})$ spostando $- 2 y$ fuori dal logaritmo.

$- 2 y \ln (e) = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Passaggio 3.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$- 2 y \cdot 1 = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Passaggio 3.5

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} + K)}{2}$