Calcolo Esempi

$\frac{d u}{d t} = e^{4 u + 6 t}$

Passaggio 1

Sia $v = e^{4 u + 6 t}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{4 u + 6 t}$ con $v$ .

$\frac{d u}{d t} = v$

Passaggio 2

Trova $\frac{d v}{d t}$ differenziando $e^{4 u + 6 t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 4 u + 6 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 u + 6 t$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [4 u + 6 t]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [4 u + 6 t]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 u + 6 t$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} \frac{d}{d t} [4 u + 6 t]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 u + 6 t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [4 u] + \frac{d}{d t} [6 t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (\frac{d}{d t} [4 u] + \frac{d}{d t} [6 t])$

Passaggio 2.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4 u$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [u]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (4 \frac{d}{d t} [u] + \frac{d}{d t} [6 t])$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d t} [u]$ come $u'$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (4 u' + \frac{d}{d t} [6 t])$

Passaggio 2.5

Poiché $6$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $6 t$ rispetto a $t$ è $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (4 u' + 6 \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (4 u' + 6 \cdot 1)$

Passaggio 2.7

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (4 u' + 6)$

Passaggio 3

Sostituisci $v$ a $e^{4 u + 6 t}$ .

$\frac{d v}{d t} = v (4 u' + 6)$

Passaggio 4

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} - \frac{3}{2} = v$

Passaggio 5

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Risolvi per $\frac{d v}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Somma $\frac{3}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} = v + \frac{3}{2}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica ogni lato per $4 v$ .

$\frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} (4 v) = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Semplifica $\frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} (4 v)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 \frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} v = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

Passaggio 5.1.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1.2.1

Scomponi $4$ da $4 v$ .

$4 \frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} v = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

Passaggio 5.1.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} v = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

Passaggio 5.1.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

Passaggio 5.1.3.1.1.3

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

Passaggio 5.1.3.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d t} = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

Passaggio 5.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Semplifica $(v + \frac{3}{2}) (4 v)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d v}{d t} = v (4 v) + \frac{3}{2} (4 v)$

Passaggio 5.1.3.2.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d t} = 4 v \cdot v + \frac{3}{2} (4 v)$

Passaggio 5.1.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $4 v$ .

$\frac{d v}{d t} = 4 v \cdot v + \frac{3}{2} (2 (2 v))$

Passaggio 5.1.3.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d t} = 4 v \cdot v + \frac{3}{2} (2 (2 v))$

Passaggio 5.1.3.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d t} = 4 v \cdot v + 3 (2 v)$

Passaggio 5.1.3.2.1.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{d v}{d t} = 4 v \cdot v + 6 v$

Passaggio 5.1.3.2.1.5

Moltiplica $v$ per $v$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.5.1

Sposta $v$ .

$\frac{d v}{d t} = 4 (v \cdot v) + 6 v$

Passaggio 5.1.3.2.1.5.2

Moltiplica $v$ per $v$ .

$\frac{d v}{d t} = 4 v^{2} + 6 v$

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{4 v^{2} + 6 v}$ .

$\frac{1}{4 v^{2} + 6 v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{4 v^{2} + 6 v} (4 v^{2} + 6 v)$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $4 v^{2} + 6 v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 v^{2} + 6 v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{4 v^{2} + 6 v} (4 v^{2} + 6 v)$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4 v^{2} + 6 v} \frac{d v}{d t} = 1$

Passaggio 5.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{4 v^{2} + 6 v} d v = 1 d t$

Passaggio 6

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{4 v^{2} + 6 v} d v = \int d t$

Passaggio 6.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Scomponi $2 v$ da $4 v^{2} + 6 v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1.1

Scomponi $2 v$ da $4 v^{2}$ .

$\frac{1}{2 v (2 v) + 6 v}$

Passaggio 6.2.1.1.1.2

Scomponi $2 v$ da $6 v$ .

$\frac{1}{2 v (2 v) + 2 v \cdot 3}$

Passaggio 6.2.1.1.1.3

Scomponi $2 v$ da $2 v (2 v) + 2 v \cdot 3$ .

$\frac{1}{2 v (2 v + 3)}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{2 v + 3}$

Passaggio 6.2.1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $2 v (2 v + 3)$ .

$\frac{1 (2 v (2 v + 3))}{2 v (2 v + 3)} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Passaggio 6.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (2 v (2 v + 3))}{2 v (2 v + 3)} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Passaggio 6.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (v (2 v + 3))}{v (2 v + 3)} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Passaggio 6.2.1.1.5

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (v (2 v + 3))}{v (2 v + 3)} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Passaggio 6.2.1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (2 v + 3)}{2 v + 3} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Passaggio 6.2.1.1.6

Elimina il fattore comune di $2 v + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (2 v + 3)}{2 v + 3} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Passaggio 6.2.1.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Passaggio 6.2.1.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.7.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Passaggio 6.2.1.1.7.1.2

Dividi $A (2 (2 v + 3))$ per $1$ .

$1 = A (2 (2 v + 3)) + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Passaggio 6.2.1.1.7.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 2 A (2 v + 3) + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Passaggio 6.2.1.1.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 = 2 A (2 v) + 2 A \cdot 3 + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Passaggio 6.2.1.1.7.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 2 \cdot (2 A v) + 2 A \cdot 3 + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Passaggio 6.2.1.1.7.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$1 = 2 \cdot (2 A v) + 6 A + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Passaggio 6.2.1.1.7.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$1 = 4 A v + 6 A + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Passaggio 6.2.1.1.7.7

Elimina il fattore comune di $2 v + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.7.7.1

Elimina il fattore comune.

$1 = 4 A v + 6 A + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

Passaggio 6.2.1.1.7.7.2

Dividi $B (2 v)$ per $1$ .

$1 = 4 A v + 6 A + B (2 v)$

Passaggio 6.2.1.1.7.8

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 4 A v + 6 A + 2 B v$

Passaggio 6.2.1.1.8

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.8.1

Sposta $A$ .

$1 = 4 v A + 6 A + 2 B v$

Passaggio 6.2.1.1.8.2

Sposta $B$ .

$1 = 4 v A + 6 A + 2 v B$

Passaggio 6.2.1.1.8.3

Sposta $6 A$ .

$1 = 4 v A + 2 v B + 6 A$

Passaggio 6.2.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $v$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = 4 A + 2 B$

Passaggio 6.2.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $v$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 6 A$

Passaggio 6.2.1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = 4 A + 2 B$

$1 = 6 A$

$0 = 4 A + 2 B$

$1 = 6 A$

Passaggio 6.2.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = 6 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $6 A = 1$ .

$6 A = 1$

$0 = 4 A + 2 B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 A = 1$ .

$\frac{6 A}{6} = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 A}{6} = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

Passaggio 6.2.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $\frac{1}{6}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = 4 A + 2 B$ con $\frac{1}{6}$ .

$0 = 4 (\frac{1}{6}) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

Passaggio 6.2.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$0 = 2 (2) (\frac{1}{6}) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

Passaggio 6.2.1.3.2.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$0 = 2 \cdot (2 (\frac{1}{2 \cdot 3})) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

Passaggio 6.2.1.3.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$0 = 2 \cdot (2 (\frac{1}{2 \cdot 3})) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

Passaggio 6.2.1.3.2.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$0 = 2 (\frac{1}{3}) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 2 (\frac{1}{3}) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

Passaggio 6.2.1.3.2.2.1.2

$2$ e $\frac{1}{3}$ .

$0 = \frac{2}{3} + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = \frac{2}{3} + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = \frac{2}{3} + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = \frac{2}{3} + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

Passaggio 6.2.1.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = \frac{2}{3} + 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{2}{3} + 2 B = 0$ .

$\frac{2}{3} + 2 B = 0$

$A = \frac{1}{6}$

Passaggio 6.2.1.3.3.2

Sottrai $\frac{2}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

Passaggio 6.2.1.3.3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = - \frac{2}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = - \frac{2}{3}$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

Passaggio 6.2.1.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 B}{2} = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

Passaggio 6.2.1.3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

Passaggio 6.2.1.3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.3.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$B = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

Passaggio 6.2.1.3.3.3.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.3.3.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3}$ nel numeratore.

$B = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

Passaggio 6.2.1.3.3.3.3.2.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$B = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

Passaggio 6.2.1.3.3.3.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$B = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

Passaggio 6.2.1.3.3.3.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$B = \frac{- 1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = \frac{- 1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

Passaggio 6.2.1.3.3.3.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

Passaggio 6.2.1.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - \frac{1}{3} A = \frac{1}{6}$

Passaggio 6.2.1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - \frac{1}{3}, A = \frac{1}{6}$

Passaggio 6.2.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{v} + \frac{B}{2 v + 3}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{6}}{v} + \frac{- \frac{1}{3}}{2 v + 3}$

Passaggio 6.2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{v} + \frac{- \frac{1}{3}}{2 v + 3}$

Passaggio 6.2.1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{6 v} + \frac{- \frac{1}{3}}{2 v + 3}$

Passaggio 6.2.1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{6 v} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2 v + 3}$

Passaggio 6.2.1.5.4

Moltiplica $\frac{1}{2 v + 3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6 v} - \frac{1}{(2 v + 3) \cdot 3}$

Passaggio 6.2.1.5.5

Sposta $3$ alla sinistra di $2 v + 3$ .

$\int \frac{1}{6 v} - \frac{1}{3 (2 v + 3)} d v = \int d t$

Passaggio 6.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{6 v} d v + \int - \frac{1}{3 (2 v + 3)} d v = \int d t$

Passaggio 6.2.3

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $v$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{1}{3 (2 v + 3)} d v = \int d t$

Passaggio 6.2.4

L'integrale di $\frac{1}{v}$ rispetto a $v$ è $\ln (| v |)$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int - \frac{1}{3 (2 v + 3)} d v = \int d t$

Passaggio 6.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $v$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \int \frac{1}{3 (2 v + 3)} d v = \int d t$

Passaggio 6.2.6

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $v$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{2 v + 3} d v) = \int d t$

Passaggio 6.2.7

Sia $u_{2} = 2 v + 3$ . Allora $d u_{2} = 2 d v$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d v$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1

Sia $u_{2} = 2 v + 3$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1.1

Differenzia $2 v + 3$ .

$\frac{d}{d v} [2 v + 3]$

Passaggio 6.2.7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 v + 3$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [3]$ .

$\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [3]$

Passaggio 6.2.7.1.3

Calcola $\frac{d}{d v} [2 v]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $2 v$ rispetto a $v$ è $2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [3]$

Passaggio 6.2.7.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [3]$

Passaggio 6.2.7.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d v} [3]$

Passaggio 6.2.7.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $3$ rispetto a $v$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 6.2.7.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 6.2.7.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int d t$

Passaggio 6.2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int d t$

Passaggio 6.2.8.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Passaggio 6.2.9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d t$

Passaggio 6.2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.10.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Passaggio 6.2.10.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Passaggio 6.2.11

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d t$

Passaggio 6.2.12

Semplifica.

$\frac{1}{6} \ln (| v |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Passaggio 6.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{6} \ln (| v |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = t + C_{4}$

Passaggio 6.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{6} \ln (| v |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) = t + C$

Passaggio 7

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

$\frac{1}{6}$ e $\ln (| v |)$ .

$\frac{\ln (| v |)}{6} - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) = t + C$

Passaggio 7.1.1.2

$\ln (| u_{2} |)$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{\ln (| v |)}{6} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} = t + C$

Passaggio 7.2

Moltiplica per $6$ ciascun termine in $\frac{\ln (| v |)}{6} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} = t + C$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{\ln (| v |)}{6} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} = t + C$ per $6$ .

$\frac{\ln (| v |)}{6} \cdot 6 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} \cdot 6 = t \cdot 6 + C \cdot 6$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (| v |)}{6} \cdot 6 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} \cdot 6 = t \cdot 6 + C \cdot 6$

Passaggio 7.2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| v |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} \cdot 6 = t \cdot 6 + C \cdot 6$

Passaggio 7.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (| u_{2} |)}{6}$ nel numeratore.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{6} \cdot 6 = t \cdot 6 + C \cdot 6$

Passaggio 7.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{6} \cdot 6 = t \cdot 6 + C \cdot 6$

Passaggio 7.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = t \cdot 6 + C \cdot 6$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.1

Sposta $6$ alla sinistra di $t$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 6 \cdot t + C \cdot 6$

Passaggio 7.2.3.1.2

Sposta $6$ alla sinistra di $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 6 t + 6 C$

Passaggio 7.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 6 t + 6 C$

Passaggio 7.4

Per risolvere per $v$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{6 t + 6 C}$

Passaggio 7.5

Riscrivi $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 6 t + 6 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{6 t + 6 C} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Passaggio 7.6

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{6 t + 6 C}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{6 t + 6 C}$

Passaggio 7.6.2

Moltiplica ogni lato per $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{6 t + 6 C} | u_{2} |$

Passaggio 7.6.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.3.1

Elimina il fattore comune di $| u_{2} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{6 t + 6 C} | u_{2} |$

Passaggio 7.6.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| v | = e^{6 t + 6 C} | u_{2} |$

Passaggio 7.6.4

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.4.1

Riordina i fattori in $e^{6 t + 6 C} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{6 t + 6 C}$

Passaggio 7.6.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{6 t + 6 C}$

Passaggio 8

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$v = \pm | u_{2} | e^{6 t + C}$

Passaggio 8.2

Riscrivi $e^{6 t + C}$ come $e^{6 t} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{6 t} e^{C})$

Passaggio 8.3

Riordina $e^{6 t}$ e $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{6 t})$

Passaggio 8.4

Combina costanti con il più o il meno.

$v = C | u_{2} | e^{6 t}$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $e^{4 u + 6 t}$ .

$e^{4 u + 6 t} = C | u_{2} | e^{6 t}$