Calcolo Esempi

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = e^{x} + 2 x e^{- y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + 2 x e^{- y}]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + 2 x e^{- y}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $e^{x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $e^{x}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x e^{- y}$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y])$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{u} \frac{d}{d y} [- y])$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \cdot - 1)$

Passaggio 1.3.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- 1 \cdot e^{- y})$

Passaggio 1.3.7

Riscrivi $- 1 e^{- y}$ come $- e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- e^{- y})$

Passaggio 1.3.8

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x e^{- y}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sottrai $2 x e^{- y}$ da $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

Passaggio 1.4.2

Riordina i fattori di $- 2 x e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{- y} x$

Passaggio 1.4.3

Riordina i fattori in $- 2 e^{- y} x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = e^{x} + e^{- y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- y}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + e^{- y}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $e^{- y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $e^{- y}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x}$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 2 x e^{- y}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $e^{x}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $e^{x}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{e^{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $- 2 x e^{- y}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $e^{x} + 2 x e^{- y}$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $e^{x} + 2 x e^{- y}$ a $M$ .

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

Passaggio 4.3.3

Sostituisci $e^{x} + 2 x e^{- y}$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$1$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola costante.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$ per il fattore di integrazione $e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $e^{x} + 2 x e^{- y}$ per $e^{y}$ .

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) e^{y} d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(e^{x} e^{y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Passaggio 6.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(e^{x + y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $e^{- y}$ per $e^{y}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sposta $e^{y}$ .

$(e^{x + y} + 2 x (e^{y} e^{- y})) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Passaggio 6.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(e^{x + y} + 2 x e^{y - y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Passaggio 6.4.3

Sottrai $y$ da $y$ .

$(e^{x + y} + 2 x e^{0}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Passaggio 6.5

Semplifica $2 x e^{0}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Passaggio 6.6

Moltiplica $e^{x} + e^{- y}$ per $e^{y}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) e^{y} d y = 0$

Passaggio 6.7

Applica la proprietà distributiva.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} e^{y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

Passaggio 6.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

Passaggio 6.9

Moltiplica $e^{- y}$ per $e^{y}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y + y}) d y = 0$

Passaggio 6.9.2

Somma $- y$ e $y$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{0}) d y = 0$

Passaggio 6.10

Semplifica $e^{0}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + 1) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x + y} + 1 d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = e^{x + y} + 1$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int e^{x + y} d y + \int d y$

Passaggio 8.2

Sia $u = x + y$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Sia $u = x + y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Differenzia $x + y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y]$

Passaggio 8.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 8.2.1.3

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 8.2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 8.2.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 8.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int d y$

Passaggio 8.3

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C + \int d y$

Passaggio 8.4

Applica la regola costante.

$f (x, y) = e^{u} + C + y + C$

Passaggio 8.5

Semplifica.

$f (x, y) = e^{u} + y + C$

Passaggio 8.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$f (x, y) = e^{x + y} + y + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x + y} + 2 x$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y} + y + g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x + y} + y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Passaggio 11.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Passaggio 11.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Passaggio 11.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Passaggio 11.3.4

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Passaggio 11.3.5

Somma $1$ e $0$ .

$e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Passaggio 11.3.6

Moltiplica $e^{x + y}$ per $1$ .

$e^{x + y} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Passaggio 11.4

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x + y} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Passaggio 11.5

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{x + y} + 0 + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

Passaggio 11.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Somma $e^{x + y}$ e $0$ .

$e^{x + y} + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

Passaggio 11.6.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + e^{x + y} = e^{x + y} + 2 x$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sottrai $e^{x + y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$

Passaggio 12.1.2

Combina i termini opposti in $e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Sottrai $e^{x + y}$ da $e^{x + y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0$

Passaggio 12.1.2.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $2 x$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

Passaggio 13.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$g (x) = 2 \int x d x$

Passaggio 13.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 13.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Passaggio 13.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Passaggio 13.5.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Passaggio 13.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

Passaggio 13.5.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x + y} + y + x^{2} + C$