Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x - 1$ , $f (0) = - 3$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (x^{4} - x^{3} + x - 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int x^{4} - x^{3} + x - 1 d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int x^{4} - x^{3} + x - 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int x^{4} d x + \int - x^{3} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int - x^{3} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - \int x^{3} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int x d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.6

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.7

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5}$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $- 3$ in $y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + K$ .

$- 3 = \frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$ .

$\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Passaggio 4.2

Semplifica $\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $0$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Passaggio 4.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $- \frac{1}{4} \cdot 0$ .

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Passaggio 4.2.1.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Passaggio 4.2.1.4.2

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{4}$ .

$0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Passaggio 4.2.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 - 0 + K = - 3$

Passaggio 4.2.1.6

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$0 + 0 + 0 - 0 + K = - 3$

Passaggio 4.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + K = - 3$

Passaggio 4.2.2

Combina i termini opposti in $0 + 0 + 0 + 0 + K$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0 + 0 + K = - 3$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0 + K = - 3$

Passaggio 4.2.2.3

Somma $0$ e $0$ .

$0 + K = - 3$

Passaggio 4.2.2.4

Somma $0$ e $K$ .

$K = - 3$

Passaggio 5

Sostituisci $- 3$ a $K$ in $y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 3$ a $K$ .

$y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 3$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

$\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 3$

Passaggio 5.2.2

$x^{4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 3$

Passaggio 5.2.3

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} - x - 3$