Calcolo Esempi

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \sqrt{2 x - 1}$

Passaggio 1

Integra entrambi i lati rispetto a

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

La derivata prima è uguale all'integrale della derivata seconda rispetto a

$x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \sqrt{2 x - 1} d x$

Passaggio 1.2

Sia

$u_{1} = 2 x - 1$ . Allora

$d u_{1} = 2 d x$ , quindi

$\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando

$u_{1}$ e

$d$

$u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sia

$u_{1} = 2 x - 1$ . Trova

$\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Differenzia

$2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 1.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

$2 x - 1$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.1.3

Calcola

$\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.3.1

Poiché

$2$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$2 x$ rispetto a

$x$ è

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.1.3.3

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.4.1

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 1$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$2 + 0$

Passaggio 1.2.1.4.2

Somma

$2$ e

$0$ .

$2$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi il problema usando

$u_{1}$ e

$d u_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 1.3

$\sqrt{u_{1}}$ e

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{2} d u_{1}$

Passaggio 1.4

Poiché

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

$u_{1}$ , sposta

$\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 1.5

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{u_{1}}$ come

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Passaggio 1.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a

$u_{1}$ è

$\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1})$

Passaggio 1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Riscrivi

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1})$ come

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Passaggio 1.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.1

Moltiplica

$\frac{1}{2}$ per

$\frac{2}{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Passaggio 1.7.2.2

Moltiplica

$2$ per

$3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{6} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Passaggio 1.7.2.3

Elimina il fattore comune di

$2$ e

$6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.3.1

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1)}{6} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Passaggio 1.7.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.3.2.1

Scomponi

$2$ da

$6$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Passaggio 1.7.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Passaggio 1.7.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Passaggio 1.8

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u_{1}$ con

$2 x - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione.

$d y = (\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1}) d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1} d x$

Passaggio 3.2

Applica la regola costante.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1} d x$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.2

Poiché

$\frac{1}{3}$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.3

Sia

$u_{2} = 2 x - 1$ . Allora

$d u_{2} = 2 d x$ , quindi

$\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando

$u_{2}$ e

$d$

$u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Sia

$u_{2} = 2 x - 1$ . Trova

$\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Differenzia

$2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 3.3.3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

$2 x - 1$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3.3.1.3

Calcola

$\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.3.1

Poiché

$2$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$2 x$ rispetto a

$x$ è

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3.3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3.3.1.3.3

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3.3.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.4.1

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 1$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$2 + 0$

Passaggio 3.3.3.1.4.2

Somma

$2$ e

$0$ .

$2$

Passaggio 3.3.3.2

Riscrivi il problema usando

$u_{2}$ e

$d u_{2}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.4

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ e

$\frac{1}{2}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{2} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.5

Poiché

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

$u_{2}$ , sposta

$\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2}) + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Moltiplica

$\frac{1}{2}$ per

$\frac{1}{3}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2 \cdot 3} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.6.2

Moltiplica

$2$ per

$3$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{6} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ rispetto a

$u_{2}$ è

$\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{6} (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.8

Applica la regola costante.

$y + C_{2} = \frac{1}{6} (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Passaggio 3.3.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.9.1

Semplifica.

$y + C_{2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Passaggio 3.3.9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.9.2.1

Moltiplica

$\frac{1}{6}$ per

$\frac{2}{5}$ .

$y + C_{2} = \frac{2}{6 \cdot 5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Passaggio 3.3.9.2.2

Moltiplica

$6$ per

$5$ .

$y + C_{2} = \frac{2}{30} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Passaggio 3.3.9.2.3

Elimina il fattore comune di

$2$ e

$30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.9.2.3.1

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$y + C_{2} = \frac{2 (1)}{30} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Passaggio 3.3.9.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.9.2.3.2.1

Scomponi

$2$ da

$30$ .

$y + C_{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Passaggio 3.3.9.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Passaggio 3.3.9.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{2} = \frac{1}{15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Passaggio 3.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u_{2}$ con

$2 x - 1$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{15} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come

$D$ .

$y = \frac{1}{15} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + C x + D$