Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x f (x) - 16 (f x)}{x^{17}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - 16 (f x)}{x^{17}}$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Dividi la frazione $\frac{x y - 16 (f x)}{x^{17}}$ in due frazioni.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{17}} + \frac{- 16 (f x)}{x^{17}}$

Passaggio 2.1.2

Sottrai $\frac{x y}{x^{17}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{17}} = \frac{- 16 (f x)}{x^{17}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi l'equazione con i coefficienti isolati.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{17}} = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Passaggio 2.3

Scomponi $y$ da $- \frac{x y}{x^{17}}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{x}{x^{17}}) = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Passaggio 2.4

Riordina $y$ e $- \frac{x}{x^{17}}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x}{x^{17}} y = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Passaggio 3

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - \frac{x}{x^{17}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - \frac{x}{x^{17}} d x}$

Passaggio 3.2

Integra $- \frac{x}{x^{17}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{17}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$e^{\int - \frac{x^{1}}{x^{17}} d x}$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x^{17}} d x}$

Passaggio 3.2.1.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1

Scomponi $x$ da $x^{17}$ .

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} d x}$

Passaggio 3.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} d x}$

Passaggio 3.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{\int - \frac{1}{x^{16}} d x}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{1}{x^{16}} d x}$

Passaggio 3.2.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Sposta $x^{16}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$e^{- \int {(x^{16})}^{- 1} d x}$

Passaggio 3.2.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{16})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- \int x^{16 \cdot - 1} d x}$

Passaggio 3.2.3.2.2

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$e^{- \int x^{- 16} d x}$

Passaggio 3.2.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 16}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{15} x^{- 15}$ .

$e^{- (- \frac{1}{15} x^{- 15} + C)}$

Passaggio 3.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1.1

$x^{- 15}$ e $\frac{1}{15}$ .

$e^{- (- \frac{x^{- 15}}{15} + C)}$

Passaggio 3.2.5.1.2

Sposta $x^{- 15}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- (- \frac{1}{15 x^{15}} + C)}$

Passaggio 3.2.5.2

Semplifica.

$e^{- - \frac{1}{15 x^{15}} + C}$

Passaggio 3.2.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{1 \frac{1}{15 x^{15}} + C}$

Passaggio 3.2.5.3.2

Moltiplica $\frac{1}{15 x^{15}}$ per $1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}} + C}$

Passaggio 3.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$

Passaggio 4

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ogni termine per $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (- \frac{x}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{17}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x^{1}}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Passaggio 4.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Passaggio 4.2.2.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1

Scomponi $x$ da $x^{17}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Passaggio 4.2.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Passaggio 4.2.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{1}{x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Passaggio 4.2.3

$\frac{1}{x^{16}}$ e $y$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{y}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Passaggio 4.2.4

$\frac{y}{x^{16}}$ e $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{17}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi $x$ da $- 16 f x$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x^{17}}$

Passaggio 4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{17}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x \cdot x^{16}}$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x \cdot x^{16}}$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f}{x^{16}}$

Passaggio 4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (- \frac{16 f}{x^{16}})$

Passaggio 4.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{16 f}{x^{16}}$

Passaggio 4.6

$\frac{16 f}{x^{16}}$ e $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}}$

Passaggio 5

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y] = - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}}$

Passaggio 6

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y] d x = \int - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Passaggio 7

Integra il lato sinistro.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = \int - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Passaggio 8

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - \int \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Passaggio 8.2

Poiché $16 f$ è costante rispetto a $x$ , sposta $16 f$ fuori dall'integrale.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - (16 f \int \frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x)$

Passaggio 8.3

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f \int \frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Passaggio 8.4

Sia $u = \frac{1}{15 x^{15}}$ . Allora $d u = - \frac{1}{x^{16}} d x$ , quindi $- d u = \frac{1}{x^{16}} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Sia $u = \frac{1}{15 x^{15}}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1

Differenzia $\frac{1}{15 x^{15}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{15 x^{15}}]$

Passaggio 8.4.1.2

Poiché $\frac{1}{15}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{15 x^{15}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{15}}]$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{15}}]$

Passaggio 8.4.1.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.3.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{15}}$ come ${(x^{15})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [{(x^{15})}^{- 1}]$

Passaggio 8.4.1.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{15})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{15 \cdot - 1}]$

Passaggio 8.4.1.3.2.2

Moltiplica $15$ per $- 1$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{- 15}]$

Passaggio 8.4.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 15$ .

$\frac{1}{15} (- 15 x^{- 16})$

Passaggio 8.4.1.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.5.1

$- 15$ e $\frac{1}{15}$ .

$\frac{- 15}{15} x^{- 16}$

Passaggio 8.4.1.5.2

$\frac{- 15}{15}$ e $x^{- 16}$ .

$\frac{- 15 x^{- 16}}{15}$

Passaggio 8.4.1.5.3

Sposta $x^{- 16}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 15}{15 x^{16}}$

Passaggio 8.4.1.5.4

Elimina il fattore comune di $- 15$ e $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.5.4.1

Scomponi $15$ da $- 15$ .

$\frac{15 \cdot - 1}{15 x^{16}}$

Passaggio 8.4.1.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.5.4.2.1

Scomponi $15$ da $15 x^{16}$ .

$\frac{15 \cdot - 1}{15 (x^{16})}$

Passaggio 8.4.1.5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{15 \cdot - 1}{15 x^{16}}$

Passaggio 8.4.1.5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{x^{16}}$

Passaggio 8.4.1.5.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{x^{16}}$

Passaggio 8.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f \int - e^{u} d u$

Passaggio 8.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f (- \int e^{u} d u)$

Passaggio 8.6

Moltiplica $- 1$ per $- 16$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f \int e^{u} d u$

Passaggio 8.7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f (e^{u} + C)$

Passaggio 8.8

Semplifica.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{u} + C$

Passaggio 8.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{15 x^{15}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$

Passaggio 9

Dividi per $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ ciascun termine in $e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Dividi per $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ ciascun termine in $e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$ .

$\frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Passaggio 9.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Passaggio 9.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elimina il fattore comune di $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Passaggio 9.3.1.2

Dividi $16 f$ per $1$ .

$y = 16 f + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$