Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y + x^{2} y}{x - 4 x y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $y$ da $3 y + x^{2} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $y$ da $3 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 3 + x^{2} y}{x - 4 x y}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $y$ da $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 3 + y x^{2}}{x - 4 x y}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $y$ da $y \cdot 3 + y x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (3 + x^{2})}{x - 4 x y}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $y$ per $3 + x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x - 4 x y}$

Passaggio 1.2

Scomponi $x$ da $x - 4 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x^{1} - 4 x y}$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot 1 - 4 x y}$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $x$ da $- 4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot 1 + x (- 4 y)}$

Passaggio 1.2.4

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x (- 4 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot (1 - 4 y)}$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $x$ per $1 - 4 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x (1 - 4 y)}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 - 4 y} \cdot \frac{3 + x^{2}}{x}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{1 - 4 y}{y}$ .

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} (\frac{y}{1 - 4 y} \cdot \frac{3 + x^{2}}{x})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $\frac{y}{1 - 4 y}$ per $\frac{3 + x^{2}}{x}$ .

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) x}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di $1 - 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $1 - 4 y$ da $(1 - 4 y) x$ .

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) (x)}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) x}$

Passaggio 1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{x}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{x}$

Passaggio 1.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3 + x^{2}}{x}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1 - 4 y}{y} d y = \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1 - 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Passaggio 2.2.3.2

Dividi $- 4$ per $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 4 d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 4 d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Passaggio 2.2.5

Applica la regola costante.

$\ln (| y |) + C_{1} - 4 y + C_{2} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$\ln (| y |) - 4 y + C_{3} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Passaggio 2.2.7

Riordina i termini.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} + \frac{x^{2}}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x^{2}}{x} d x$

Passaggio 2.3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x} d x$

Passaggio 2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x$

Passaggio 2.3.3.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

Passaggio 2.3.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

Passaggio 2.3.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x}{1} d x$

Passaggio 2.3.3.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int x d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 \int \frac{1}{x} d x + \int x d x$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 (\ln (| x |) + C_{4}) + \int x d x$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 (\ln (| x |) + C_{4}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 \ln (| x |) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

Passaggio 2.3.8

Riordina i termini.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + 3 \ln (| x |) + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- 4 y + \ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + 3 \ln (| x |) + C$