Calcolo Esempi

$4 x^{2} + 5 y \frac{d y}{d x} = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $4 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 y \frac{d y}{d x} = - 4 x^{2}$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $5 y$ ciascun termine in $5 y \frac{d y}{d x} = - 4 x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $5 y$ ciascun termine in $5 y \frac{d y}{d x} = - 4 x^{2}$ .

$\frac{5 y \frac{d y}{d x}}{5 y} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 y \frac{d y}{d x}}{5 y} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Passaggio 1.1.2.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{2}}{5 y}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{4 x^{2}}{5 y})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{4 x^{2}}{5 y}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x^{2}}{5 y}$

Passaggio 1.3.2.2

Scomponi $y$ da $5 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x^{2}}{y \cdot 5}$

Passaggio 1.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x^{2}}{y \cdot 5}$

Passaggio 1.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{2}}{5}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$y d y = - \frac{4 x^{2}}{5} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int - \frac{4 x^{2}}{5} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{4 x^{2}}{5} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{4 x^{2}}{5} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $\frac{4}{5}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{4}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{4}{5} \int x^{2} d x)$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{5} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $- \frac{4}{5} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ come $- \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{4}{5}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{3 \cdot 5} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{15} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{4}{15} x^{3} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

$x^{3}$ e $\frac{4}{15}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{3} \cdot 4}{15} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{4 x^{3}}{15} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{4 x^{3}}{15}) + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $2 (- \frac{4 x^{3}}{15})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{2} = - 2 \frac{4 x^{3}}{15} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

$- 2$ e $\frac{4 x^{3}}{15}$ .

$y^{2} = \frac{- 2 (4 x^{3})}{15} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$y^{2} = \frac{- 8 x^{3}}{15} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = - \frac{8 x^{3}}{15} + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- \frac{8 x^{3}}{15} + 2 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{8 x^{3}}{15} + 2 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $- \frac{8 x^{3}}{15} + 2 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $2$ da $- \frac{8 x^{3}}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15}) + 2 K}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi $2$ da $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15}) + 2 K}$

Passaggio 3.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 (- \frac{4 x^{3}}{15}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15} + K)}$

Passaggio 3.4.2

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15} + K \cdot \frac{15}{15})}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

$K$ e $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15} + \frac{K \cdot 15}{15})}$

Passaggio 3.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 4 x^{3} + K \cdot 15}{15}}$

Passaggio 3.4.4

Sposta $15$ alla sinistra di $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 4 x^{3} + 15 K}{15}}$

Passaggio 3.4.5

$2$ e $\frac{- 4 x^{3} + 15 K}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}{15}}$

Passaggio 3.4.6

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}{15}}$ come $\frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$ per $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 3.4.8

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$ per $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Passaggio 3.4.8.2

Eleva $\sqrt{15}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}}$

Passaggio 3.4.8.3

Eleva $\sqrt{15}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}}$

Passaggio 3.4.8.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.8.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Passaggio 3.4.8.6

Riscrivi ${\sqrt{15}}^{2}$ come $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{15}$ come $15^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4.8.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.8.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.8.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.8.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{1}}$

Passaggio 3.4.8.6.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15}$

Passaggio 3.4.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.9.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K) \cdot 15}}{15}$

Passaggio 3.4.9.2

Moltiplica $15$ per $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + K)}}{15}$