Calcolo Esempi

$3 y^{2} t d y + (y^{3} + 2 t) d t = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi.

$(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y^{3} + 2 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3} + 2 t]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} + 2 t$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [2 t]$

Passaggio 2.4

Poiché $2 t$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 0$

Passaggio 2.5

Somma $3 y^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 3 y^{2} t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} t]$

Passaggio 3.2

Poiché $3 y^{2} t$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y^{2} t$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $3 y^{2}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $0$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$3 y^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$3 y^{2} = 0$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $3 y^{2}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 y^{2} + 0}{N}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $3 y^{2} t$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $3 y^{2} t$ a $N$ .

$\frac{3 y^{2} + 0}{3 y^{2} t}$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune di $3 y^{2} + 0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $3$ da $3 y^{2}$ .

$\frac{3 (y^{2}) + 0}{3 y^{2} t}$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $3$ da $0$ .

$\frac{3 (y^{2}) + 3 \cdot 0}{3 y^{2} t}$

Passaggio 5.3.2.3

Scomponi $3$ da $3 (y^{2}) + 3 (0)$ .

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 y^{2} t}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Scomponi $3$ da $3 y^{2} t$ .

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

Passaggio 5.3.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} + 0}{y^{2} t}$

Passaggio 5.3.3

Somma $y^{2}$ e $0$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

Passaggio 5.3.4

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

Passaggio 5.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{t}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{t} d x}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int \frac{1}{t} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la regola costante.

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{t} x + C}$

Passaggio 6.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

$\frac{1}{t}$ e $x$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t} + C}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t}} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$ per il fattore di integrazione $e^{\frac{x}{t}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $y^{3} + 2 t$ per $e^{\frac{x}{t}}$ .

$(y^{3} + 2 t) e^{\frac{x}{t}} d t + 3 y^{2} t d y = 0$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $3 y^{2} t$ per $e^{\frac{x}{t}}$ .

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y$

Passaggio 9

Integra $N (x, y) = 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Poiché $3 t e^{\frac{x}{t}}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3 t e^{\frac{x}{t}}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \int y^{2} d y$

Passaggio 9.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Passaggio 9.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Riscrivi $3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ come $3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 9.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} \frac{3}{3} y^{3} + C$

Passaggio 9.3.2.2

$\frac{3}{3}$ e $t$ .

$f (x, y) = \frac{3 t}{3} e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

Passaggio 9.3.2.3

$\frac{3 t}{3}$ e $e^{\frac{x}{t}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

Passaggio 9.3.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

Passaggio 9.3.2.4.2

Dividi $t e^{\frac{x}{t}}$ per $1$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Poiché $t y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $t e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ rispetto a $x$ è $t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}]$ .

$t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Passaggio 12.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{t}$ .

$t y^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Passaggio 12.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$t y^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Passaggio 12.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{t}$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Passaggio 12.3.3

Poiché $\frac{1}{t}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{t}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Passaggio 12.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Passaggio 12.3.5

Moltiplica $\frac{1}{t}$ per $1$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{t}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Passaggio 12.3.6

$e^{\frac{x}{t}}$ e $\frac{1}{t}$ .

$t y^{3} \frac{e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Passaggio 12.3.7

$t$ e $\frac{e^{\frac{x}{t}}}{t}$ .

$y^{3} \frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Passaggio 12.3.8

$y^{3}$ e $\frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t}$ .

$\frac{y^{3} (t e^{\frac{x}{t}})}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Passaggio 12.3.9

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.9.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{3} t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Passaggio 12.3.9.2

Dividi $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ per $1$ .

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Passaggio 12.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Passaggio 12.5.2

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{\frac{x}{t}} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sottrai $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$

Passaggio 13.1.2

Combina i termini opposti in $y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.1

Sottrai $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ da $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}} + 0$

Passaggio 13.1.2.2

Somma $2 t e^{\frac{x}{t}}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $2 t e^{\frac{x}{t}}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

Passaggio 14.3

Poiché $2 t$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2 t$ fuori dall'integrale.

$g (x) = 2 t \int e^{\frac{x}{t}} d x$

Passaggio 14.4

Sia $u = \frac{x}{t}$ . Allora $d u = \frac{1}{t} d x$ , quindi $t d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Sia $u = \frac{x}{t}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1.1

Differenzia $\frac{x}{t}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]$

Passaggio 14.4.1.2

Poiché $\frac{1}{t}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{t}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 14.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{t} \cdot 1$

Passaggio 14.4.1.4

Moltiplica $\frac{1}{t}$ per $1$ .

$\frac{1}{t}$

Passaggio 14.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$g (x) = 2 t \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{t}} d u$

Passaggio 14.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{t}$ .

$g (x) = 2 t \int e^{u} (1 t) d u$

Passaggio 14.5.2

Moltiplica $t$ per $1$ .

$g (x) = 2 t \int e^{u} t d u$

Passaggio 14.6

Poiché $t$ è costante rispetto a $u$ , sposta $t$ fuori dall'integrale.

$g (x) = 2 t (t \int e^{u} d u)$

Passaggio 14.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.7.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$g (x) = 2 (t^{1} t) \int e^{u} d u$

Passaggio 14.7.2

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$g (x) = 2 (t^{1} t^{1}) \int e^{u} d u$

Passaggio 14.7.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$g (x) = 2 t^{1 + 1} \int e^{u} d u$

Passaggio 14.7.4

Somma $1$ e $1$ .

$g (x) = 2 t^{2} \int e^{u} d u$

Passaggio 14.8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$g (x) = 2 t^{2} (e^{u} + C)$

Passaggio 14.9

Semplifica.

$g (x) = 2 t^{2} e^{u} + C$

Passaggio 14.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{t}$ .

$g (x) = 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

Passaggio 16

Riordina i fattori in $f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$ .

$f (x, y) = t y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$