Calcolo Esempi

$\frac{d u}{d t} = e^{2 u + 4 t}$

Passaggio 1

Sia $v = e^{2 u + 4 t}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{2 u + 4 t}$ con $v$ .

$\frac{d u}{d t} = v$

Passaggio 2

Trova $\frac{d v}{d t}$ differenziando $e^{2 u + 4 t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 2 u + 4 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 u + 4 t$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [2 u + 4 t]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 u + 4 t]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 u + 4 t$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} \frac{d}{d t} [2 u + 4 t]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 u + 4 t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 u] + \frac{d}{d t} [4 t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (\frac{d}{d t} [2 u] + \frac{d}{d t} [4 t])$

Passaggio 2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 u$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [u]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (2 \frac{d}{d t} [u] + \frac{d}{d t} [4 t])$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d t} [u]$ come $u'$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (2 u' + \frac{d}{d t} [4 t])$

Passaggio 2.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4 t$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (2 u' + 4 \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (2 u' + 4 \cdot 1)$

Passaggio 2.7

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{2 u + 4 t} (2 u' + 4)$

Passaggio 3

Sostituisci $v$ a $e^{2 u + 4 t}$ .

$\frac{d v}{d t} = v (2 u' + 4)$

Passaggio 4

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} - 2 = v$

Passaggio 5

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Risolvi per $\frac{d v}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} = v + 2$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica ogni lato per $2 v$ .

$\frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} (2 v) = (v + 2) (2 v)$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Semplifica $\frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} (2 v)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} v = (v + 2) (2 v)$

Passaggio 5.1.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 v$ .

$2 \frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} v = (v + 2) (2 v)$

Passaggio 5.1.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\frac{d v}{d t}}{2 v} v = (v + 2) (2 v)$

Passaggio 5.1.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v + 2) (2 v)$

Passaggio 5.1.3.1.1.3

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v + 2) (2 v)$

Passaggio 5.1.3.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d t} = (v + 2) (2 v)$

Passaggio 5.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Semplifica $(v + 2) (2 v)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d v}{d t} = v (2 v) + 2 (2 v)$

Passaggio 5.1.3.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d t} = 2 v \cdot v + 2 (2 v)$

Passaggio 5.1.3.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d v}{d t} = 2 v \cdot v + 4 v$

Passaggio 5.1.3.2.1.3

Moltiplica $v$ per $v$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.3.1

Sposta $v$ .

$\frac{d v}{d t} = 2 (v \cdot v) + 4 v$

Passaggio 5.1.3.2.1.3.2

Moltiplica $v$ per $v$ .

$\frac{d v}{d t} = 2 v^{2} + 4 v$

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{2 v^{2} + 4 v}$ .

$\frac{1}{2 v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{2 v^{2} + 4 v} (2 v^{2} + 4 v)$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $2 v^{2} + 4 v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{2 v^{2} + 4 v} (2 v^{2} + 4 v)$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d t} = 1$

Passaggio 5.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{2 v^{2} + 4 v} d v = 1 d t$

Passaggio 6

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{2 v^{2} + 4 v} d v = \int d t$

Passaggio 6.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Scomponi $2 v$ da $2 v^{2} + 4 v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1.1

Scomponi $2 v$ da $2 v^{2}$ .

$\frac{1}{2 v \cdot v + 4 v}$

Passaggio 6.2.1.1.1.2

Scomponi $2 v$ da $4 v$ .

$\frac{1}{2 v \cdot v + 2 v \cdot 2}$

Passaggio 6.2.1.1.1.3

Scomponi $2 v$ da $2 v \cdot v + 2 v \cdot 2$ .

$\frac{1}{2 v (v + 2)}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $2 v (v + 2)$ .

$\frac{1 (2 v (v + 2))}{2 v (v + 2)} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (2 v (v + 2))}{2 v (v + 2)} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (v (v + 2))}{v (v + 2)} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.5

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (v (v + 2))}{v (v + 2)} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (v + 2)}{v + 2} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.6

Elimina il fattore comune di $v + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (v + 2)}{v + 2} = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.7.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (2 v (v + 2))}{v} + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.7.1.2

Dividi $A (2 (v + 2))$ per $1$ .

$1 = A (2 (v + 2)) + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.7.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 2 A (v + 2) + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 = 2 A v + 2 A \cdot 2 + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.7.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$1 = 2 A v + 4 A + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.7.5

Elimina il fattore comune di $v + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.7.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 = 2 A v + 4 A + \frac{B (2 v (v + 2))}{v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.7.5.2

Dividi $B (2 v)$ per $1$ .

$1 = 2 A v + 4 A + B (2 v)$

Passaggio 6.2.1.1.7.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 2 A v + 4 A + 2 B v$

Passaggio 6.2.1.1.8

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.8.1

Sposta $A$ .

$1 = 2 v A + 4 A + 2 B v$

Passaggio 6.2.1.1.8.2

Sposta $B$ .

$1 = 2 v A + 4 A + 2 v B$

Passaggio 6.2.1.1.8.3

Sposta $4 A$ .

$1 = 2 v A + 2 v B + 4 A$

Passaggio 6.2.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $v$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = 2 A + 2 B$

Passaggio 6.2.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $v$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 4 A$

Passaggio 6.2.1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = 2 A + 2 B$

$1 = 4 A$

$0 = 2 A + 2 B$

$1 = 4 A$

Passaggio 6.2.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = 4 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$0 = 2 A + 2 B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = 1$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 2 A + 2 B$

Passaggio 6.2.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $\frac{1}{4}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = 2 A + 2 B$ con $\frac{1}{4}$ .

$0 = 2 (\frac{1}{4}) + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$0 = 2 (\frac{1}{2 (2)}) + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.1.3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$0 = 2 (\frac{1}{2 \cdot 2}) + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.1.3.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$0 = \frac{1}{2} + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = \frac{1}{2} + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = \frac{1}{2} + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = \frac{1}{2} + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.1.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = \frac{1}{2} + 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{2} + 2 B = 0$ .

$\frac{1}{2} + 2 B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.1.3.3.2

Sottrai $\frac{1}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.1.3.3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = - \frac{1}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.1.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 B}{2} = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.1.3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.1.3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.3.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$B = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.1.3.3.3.3.2

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.3.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$B = - \frac{1}{2 \cdot 2}$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.1.3.3.3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.1.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - \frac{1}{4} A = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - \frac{1}{4}, A = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 2}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{v} + \frac{- \frac{1}{4}}{v + 2}$

Passaggio 6.2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{v} + \frac{- \frac{1}{4}}{v + 2}$

Passaggio 6.2.1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{4 v} + \frac{- \frac{1}{4}}{v + 2}$

Passaggio 6.2.1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{4 v} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{v + 2}$

Passaggio 6.2.1.5.4

Moltiplica $\frac{1}{v + 2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4 v} - \frac{1}{(v + 2) \cdot 4}$

Passaggio 6.2.1.5.5

Sposta $4$ alla sinistra di $v + 2$ .

$\int \frac{1}{4 v} - \frac{1}{4 (v + 2)} d v = \int d t$

Passaggio 6.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{4 v} d v + \int - \frac{1}{4 (v + 2)} d v = \int d t$

Passaggio 6.2.3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $v$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{1}{4 (v + 2)} d v = \int d t$

Passaggio 6.2.4

L'integrale di $\frac{1}{v}$ rispetto a $v$ è $\ln (| v |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int - \frac{1}{4 (v + 2)} d v = \int d t$

Passaggio 6.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $v$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \int \frac{1}{4 (v + 2)} d v = \int d t$

Passaggio 6.2.6

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $v$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{v + 2} d v) = \int d t$

Passaggio 6.2.7

Sia $u_{2} = v + 2$ . Allora $d u_{2} = d v$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1

Sia $u_{2} = v + 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1.1

Differenzia $v + 2$ .

$\frac{d}{d v} [v + 2]$

Passaggio 6.2.7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $v + 2$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$

Passaggio 6.2.7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [2]$

Passaggio 6.2.7.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $2$ rispetto a $v$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.2.7.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2.7.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Passaggio 6.2.8

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d t$

Passaggio 6.2.9

Semplifica.

$\frac{1}{4} \ln (| v |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Passaggio 6.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{4} \ln (| v |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = t + C_{4}$

Passaggio 6.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| v |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) = t + C$

Passaggio 7

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

$\frac{1}{4}$ e $\ln (| v |)$ .

$\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) = t + C$

Passaggio 7.1.1.2

$\ln (| u_{2} |)$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} = t + C$

Passaggio 7.2

Moltiplica per $4$ ciascun termine in $\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} = t + C$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} = t + C$ per $4$ .

$\frac{\ln (| v |)}{4} \cdot 4 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (| v |)}{4} \cdot 4 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

Passaggio 7.2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| v |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

Passaggio 7.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (| u_{2} |)}{4}$ nel numeratore.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

Passaggio 7.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = t \cdot 4 + C \cdot 4$

Passaggio 7.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = t \cdot 4 + C \cdot 4$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.1

Sposta $4$ alla sinistra di $t$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 4 \cdot t + C \cdot 4$

Passaggio 7.2.3.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 4 t + 4 C$

Passaggio 7.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 4 t + 4 C$

Passaggio 7.4

Per risolvere per $v$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{4 t + 4 C}$

Passaggio 7.5

Riscrivi $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 4 t + 4 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 t + 4 C} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Passaggio 7.6

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{4 t + 4 C}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{4 t + 4 C}$

Passaggio 7.6.2

Moltiplica ogni lato per $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{4 t + 4 C} | u_{2} |$

Passaggio 7.6.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.3.1

Elimina il fattore comune di $| u_{2} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{4 t + 4 C} | u_{2} |$

Passaggio 7.6.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| v | = e^{4 t + 4 C} | u_{2} |$

Passaggio 7.6.4

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.4.1

Riordina i fattori in $e^{4 t + 4 C} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{4 t + 4 C}$

Passaggio 7.6.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{4 t + 4 C}$

Passaggio 8

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$v = \pm | u_{2} | e^{4 t + C}$

Passaggio 8.2

Riscrivi $e^{4 t + C}$ come $e^{4 t} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{4 t} e^{C})$

Passaggio 8.3

Riordina $e^{4 t}$ e $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{4 t})$

Passaggio 8.4

Combina costanti con il più o il meno.

$v = C | u_{2} | e^{4 t}$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $e^{2 u + 4 t}$ .

$e^{2 u + 4 t} = C | u_{2} | e^{4 t}$