Calcolo Esempi

$(\frac{t}{y}) d y + (1 + \ln (y)) d t = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(1 + \ln (y)) d t$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{t}{y} d y = - (1 + \ln (y)) d t$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{t (1 + \ln (y))}$ .

$\frac{1}{t (1 + \ln (y))} \cdot \frac{t}{y} d y = \frac{1}{t (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d t$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{t (1 + \ln (y))} \cdot \frac{t}{y} d y = \frac{1}{t (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d t$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + \ln (y)} \cdot \frac{1}{y} d y = \frac{1}{t (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d t$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{1 + \ln (y)}$ per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{(1 + \ln (y)) y} d y = \frac{1}{t (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d t$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori in $\frac{1}{(1 + \ln (y)) y}$ .

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{1}{t (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d t$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{t (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d t$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $1 + \ln (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{t (1 + \ln (y))}$ nel numeratore.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{t (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d t$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $1 + \ln (y)$ da $t (1 + \ln (y))$ .

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) t} (1 + \ln (y)) d t$

Passaggio 3.5.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) t} (1 + \ln (y)) d t$

Passaggio 3.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{t} d t$

Passaggio 3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \int - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sia $u_{1} = \ln (y)$ . Allora $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ , quindi $y d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sia $u_{1} = \ln (y)$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Differenzia $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Passaggio 4.2.1.1.2

La derivata di $\ln (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 4.2.2

Sia $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Allora $d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sia $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Differenzia $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Passaggio 4.2.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 4.2.2.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $1$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 4.2.2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 4.2.2.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 4.2.3

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 4.2.4

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + u_{1}$ .

$\ln (| 1 + u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 4.2.4.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\ln (y)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 4.3.2

L'integrale di $\frac{1}{t}$ rispetto a $t$ è $\ln (| t |)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - (\ln (| t |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \ln (| t |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) = - \ln (| t |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + \ln (| t |) = C$

Passaggio 5.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) | | t |) = C$

Passaggio 5.3

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| (1 + \ln (y)) t |) = C$

Passaggio 5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 1 t + \ln (y) t |) = C$

Passaggio 5.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $t$ per $1$ .

$\ln (| t + \ln (y) t |) = C$

Passaggio 5.5.2

Riordina i fattori in $\ln (| t + \ln (y) t |)$ .

$\ln (| t + t \ln (y) |) = C$

Passaggio 5.6

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| t + t \ln (y) |)} = e^{C}$

Passaggio 5.7

Riscrivi $\ln (| t + t \ln (y) |) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | t + t \ln (y) |$

Passaggio 5.8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Riscrivi l'equazione come $| t + t \ln (y) | = e^{C}$ .

$| t + t \ln (y) | = e^{C}$

Passaggio 5.8.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$t + t \ln (y) = \pm e^{C}$

Passaggio 5.8.2.2

Sottrai $t$ da entrambi i lati dell'equazione.

$t \ln (y) = \pm e^{C} - t$

Passaggio 5.8.2.3

Dividi per $t$ ciascun termine in $t \ln (y) = \pm e^{C} - t$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.3.1

Dividi per $t$ ciascun termine in $t \ln (y) = \pm e^{C} - t$ .

$\frac{t \ln (y)}{t} = \frac{\pm e^{C}}{t} + \frac{- t}{t}$

Passaggio 5.8.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t \ln (y)}{t} = \frac{\pm e^{C}}{t} + \frac{- t}{t}$

Passaggio 5.8.2.3.2.1.2

Dividi $\ln (y)$ per $1$ .

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{t} + \frac{- t}{t}$

Passaggio 5.8.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{t} + \frac{- t}{t}$

Passaggio 5.8.2.3.3.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{t} - 1$

Passaggio 5.8.2.4

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (y)} = e^{\frac{\pm e^{C}}{t} - 1}$

Passaggio 5.8.2.5

Riscrivi $\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{t} - 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{\pm e^{C}}{t} - 1} = y$

Passaggio 5.8.2.6

Riscrivi l'equazione come $y = e^{\frac{\pm e^{C}}{t} - 1}$ .

$y = e^{\frac{\pm e^{C}}{t} - 1}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = e^{\frac{C}{t} - 1}$