Calcolo Esempi

$\frac{d P}{d t} = 500 - 0.12 P$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{500 - 0.12 P}$ .

$\frac{1}{500 - 0.12 P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{500 - 0.12 P} (500 - 0.12 P)$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $500 - 0.12 P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{500 - 0.12 P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{500 - 0.12 P} (500 - 0.12 P)$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{500 - 0.12 P} \frac{d P}{d t} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{500 - 0.12 P} d P = 1 d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{500 - 0.12 P} d P = \int d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 500 - 0.12 P$ . Allora $d u = - 0.12 d P$ , quindi $\frac{1}{- 0.12} d u = d P$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 500 - 0.12 P$ . Trova $\frac{d u}{d P}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $500 - 0.12 P$ .

$\frac{d}{d P} [500 - 0.12 P]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $500 - 0.12 P$ rispetto a $P$ è $\frac{d}{d P} [500] + \frac{d}{d P} [- 0.12 P]$ .

$\frac{d}{d P} [500] + \frac{d}{d P} [- 0.12 P]$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Poiché $500$ è costante rispetto a $P$ , la derivata di $500$ rispetto a $P$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d P} [- 0.12 P]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d P} [- 0.12 P]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.1

Poiché $- 0.12$ è costante rispetto a $P$ , la derivata di $- 0.12 P$ rispetto a $P$ è $- 0.12 \frac{d}{d P} [P]$ .

$0 - 0.12 \frac{d}{d P} [P]$

Passaggio 2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ è $n P^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 0.12 \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.1.3.3

Moltiplica $- 0.12$ per $1$ .

$0 - 0.12$

Passaggio 2.2.1.1.4

Sottrai $0.12$ da $0$ .

$- 0.12$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 0.12} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{0.12}) d u = \int d t$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{0.12}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 0.12} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.2.3

Sposta $0.12$ alla sinistra di $u$ .

$\int - \frac{1}{0.12 u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{0.12 u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{0.12}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{0.12}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{0.12} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{0.12} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Riscrivi $- \frac{1}{0.12} (\ln (| u |) + C_{1})$ come $- 1 \cdot 8.\overline{3} \ln (| u |) + C_{1}$ .

$- 1 \cdot 8.\overline{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $8.\overline{3}$ .

$- 8.\overline{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $500 - 0.12 P$ .

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) + C_{1} = t + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) = t + C$

Passaggio 3

Risolvi per $P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $- 8.\overline{3}$ ciascun termine in $- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) = t + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $- 8.\overline{3}$ ciascun termine in $- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) = t + C$ .

$\frac{- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |)}{- 8.\overline{3}} = \frac{t}{- 8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $- 8.\overline{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |)}{- 8.\overline{3}} = \frac{t}{- 8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi $\ln (| 500 - 0.12 P |)$ per $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = \frac{t}{- 8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - \frac{t}{8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Moltiplica per $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - \frac{1 t}{8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Scomponi $8.\overline{3}$ da $8.\overline{3}$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - \frac{1 t}{8.\overline{3} (1)} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Passaggio 3.1.3.1.4

Frazioni separate.

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - (\frac{1}{8.\overline{3}} \cdot \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Passaggio 3.1.3.1.5

Dividi $1$ per $8.\overline{3}$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - (0.12 \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Passaggio 3.1.3.1.6

Dividi $t$ per $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - (0.12 t) + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Passaggio 3.1.3.1.7

Moltiplica $0.12$ per $- 1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

Passaggio 3.1.3.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - \frac{C}{8.\overline{3}}$

Passaggio 3.1.3.1.9

Moltiplica per $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - \frac{1 C}{8.\overline{3}}$

Passaggio 3.1.3.1.10

Scomponi $8.\overline{3}$ da $8.\overline{3}$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - \frac{1 C}{8.\overline{3} (1)}$

Passaggio 3.1.3.1.11

Frazioni separate.

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - (\frac{1}{8.\overline{3}} \cdot \frac{C}{1})$

Passaggio 3.1.3.1.12

Dividi $1$ per $8.\overline{3}$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - (0.12 \frac{C}{1})$

Passaggio 3.1.3.1.13

Dividi $C$ per $1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - (0.12 C)$

Passaggio 3.1.3.1.14

Moltiplica $0.12$ per $- 1$ .

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - 0.12 C$

Passaggio 3.2

Per risolvere per $P$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 500 - 0.12 P |)} = e^{- 0.12 t - 0.12 C}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - 0.12 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 0.12 t - 0.12 C} = | 500 - 0.12 P |$

Passaggio 3.4

Risolvi per $P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $| 500 - 0.12 P | = e^{- 0.12 t - 0.12 C}$ .

$| 500 - 0.12 P | = e^{- 0.12 t - 0.12 C}$

Passaggio 3.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$500 - 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $500$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C} - 500$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $- 0.12$ ciascun termine in $- 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C} - 500$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $- 0.12$ ciascun termine in $- 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C} - 500$ .

$\frac{- 0.12 P}{- 0.12} = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 0.12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 0.12 P}{- 0.12} = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $P$ per $1$ .

$P = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1.1

Semplifica $\frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12}$ .

$P = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Passaggio 3.4.4.3.1.2

Moltiplica per $1$ .

$P = \frac{1 (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C})}{0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Passaggio 3.4.4.3.1.3

Scomponi $0.12$ da $0.12$ .

$P = \frac{1 (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C})}{0.12 (1)} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Passaggio 3.4.4.3.1.4

Frazioni separate.

$P = \frac{1}{0.12} \cdot \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{1} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Passaggio 3.4.4.3.1.5

Dividi $1$ per $0.12$ .

$P = 8.\overline{3} \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{1} + \frac{- 500}{- 0.12}$

Passaggio 3.4.4.3.1.6

Dividi $\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}$ per $1$ .

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}) + \frac{- 500}{- 0.12}$

Passaggio 3.4.4.3.1.7

Dividi $- 500$ per $- 0.12$ .

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}) + 4166.\overline{6}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t + C}) + 4166.\overline{6}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $e^{- 0.12 t + C}$ come $e^{- 0.12 t} e^{C}$ .

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t} e^{C}) + 4166.\overline{6}$

Passaggio 4.3

Riordina $e^{- 0.12 t}$ e $e^{C}$ .

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{C} e^{- 0.12 t}) + 4166.\overline{6}$

Passaggio 4.4

Combina costanti con il più o il meno.

$P = 8.\overline{3} (C e^{- 0.12 t}) + 4166.\overline{6}$