Calcolo Esempi

$x^{5} y d x + ((y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x)) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $x^{5} y d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x) d y = - x^{5} y d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\csc (x) y}$ .

$\frac{1}{\csc (x) y} ((y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x)) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $\csc (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $\csc (x)$ da $\csc (x) y$ .

$\frac{1}{\csc (x) (y)} ((y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x)) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $\csc (x)$ da $(y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x)$ .

$\frac{1}{\csc (x) (y)} (\csc (x) (y^{4} + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Passaggio 3.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\csc (x) y} (\csc (x) (y^{4} + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Passaggio 3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} (y^{4} + 3 y^{2}) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $y^{4} + 3 y^{2}$ .

$\frac{y^{4} + 3 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Passaggio 3.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{4} + 3 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $y^{2}$ da $y^{4}$ .

$\frac{y^{2} y^{2} + 3 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y^{2}$ da $3 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 3}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 3$ .

$\frac{y^{2} (y^{2} + 3)}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $y$ da $y^{2} (y^{2} + 3)$ .

$\frac{y (y (y^{2} + 3))}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Passaggio 3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y (y (y^{2} + 3))}{y^{1}} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Passaggio 3.4.2.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$\frac{y (y (y^{2} + 3))}{y \cdot 1} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Passaggio 3.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (y (y^{2} + 3))}{y \cdot 1} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Passaggio 3.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y (y^{2} + 3)}{1} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Passaggio 3.4.2.5

Dividi $y (y^{2} + 3)$ per $1$ .

$y (y^{2} + 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Passaggio 3.5

Applica la proprietà distributiva.

$(y \cdot y^{2} + y \cdot 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Passaggio 3.6

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$(y^{1} y^{2} + y \cdot 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Passaggio 3.6.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(y^{1 + 2} + y \cdot 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Passaggio 3.6.2

Somma $1$ e $2$ .

$(y^{3} + y \cdot 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Passaggio 3.7

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

Passaggio 3.8

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(y^{3} + 3 y) d y = - \frac{1}{\csc (x) y} (x^{5} y) d x$

Passaggio 3.9

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{\csc (x) y}$ nel numeratore.

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{\csc (x) y} (x^{5} y) d x$

Passaggio 3.9.2

Scomponi $y$ da $\csc (x) y$ .

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{y \csc (x)} (x^{5} y) d x$

Passaggio 3.9.3

Scomponi $y$ da $x^{5} y$ .

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{y \csc (x)} (y x^{5}) d x$

Passaggio 3.9.4

Elimina il fattore comune.

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{y \csc (x)} (y x^{5}) d x$

Passaggio 3.9.5

Riscrivi l'espressione.

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{\csc (x)} x^{5} d x$

Passaggio 3.10

$\frac{- 1}{\csc (x)}$ e $x^{5}$ .

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- x^{5}}{\csc (x)} d x$

Passaggio 3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(y^{3} + 3 y) d y = - \frac{x^{5}}{\csc (x)} d x$

Passaggio 3.12

Frazioni separate.

$(y^{3} + 3 y) d y = - (\frac{x^{5}}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)}) d x$

Passaggio 3.13

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$(y^{3} + 3 y) d y = - (\frac{x^{5}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}) d x$

Passaggio 3.14

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$(y^{3} + 3 y) d y = - (\frac{x^{5}}{1} (1 \sin (x))) d x$

Passaggio 3.15

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$(y^{3} + 3 y) d y = - (\frac{x^{5}}{1} \sin (x)) d x$

Passaggio 3.16

Dividi $x^{5}$ per $1$ .

$(y^{3} + 3 y) d y = - x^{5} \sin (x) d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{3} + 3 y d y = \int - x^{5} \sin (x) d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y^{3} d y + \int 3 y d y = \int - x^{5} \sin (x) d x$

Passaggio 4.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int 3 y d y = \int - x^{5} \sin (x) d x$

Passaggio 4.2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + 3 \int y d y = \int - x^{5} \sin (x) d x$

Passaggio 4.2.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int - x^{5} \sin (x) d x$

Passaggio 4.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Semplifica.

$\frac{1}{4} y^{4} + 3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int - x^{5} \sin (x) d x$

Passaggio 4.2.5.2

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = \int - x^{5} \sin (x) d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - \int x^{5} \sin (x) d x$

Passaggio 4.3.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{5}$ e $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (5 x^{4}) d x)$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) - \int - 5 \cos (x) x^{4} d x)$

Passaggio 4.3.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 5$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) - (- 5 \int \cos (x) x^{4} d x))$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 \int \cos (x) x^{4} d x)$

Passaggio 4.3.6

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{4}$ e $d v = \cos (x)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - \int \sin (x) (4 x^{3}) d x))$

Passaggio 4.3.7

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - (4 \int \sin (x) (x^{3}) d x)))$

Passaggio 4.3.8

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 \int \sin (x) (x^{3}) d x))$

Passaggio 4.3.9

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{3}$ e $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (3 x^{2}) d x)))$

Passaggio 4.3.10

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) - \int - 3 \cos (x) x^{2} d x)))$

Passaggio 4.3.11

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) - (- 3 \int \cos (x) x^{2} d x))))$

Passaggio 4.3.12

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 \int \cos (x) x^{2} d x)))$

Passaggio 4.3.13

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2}$ e $d v = \cos (x)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - \int \sin (x) (2 x) d x))))$

Passaggio 4.3.14

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - (2 \int \sin (x) (x) d x)))))$

Passaggio 4.3.15

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 \int \sin (x) (x) d x))))$

Passaggio 4.3.16

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)))))$

Passaggio 4.3.17

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)))))$

Passaggio 4.3.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.18.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)))))$

Passaggio 4.3.18.2

Moltiplica $\int \cos (x) d x$ per $1$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)))))$

Passaggio 4.3.19

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{4})))))$

Passaggio 4.3.20

Riscrivi $- (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{4})))))$ come $- (- x^{5} \cos (x) + 5 x^{4} \sin (x) + 20 x^{3} \cos (x) - 60 x^{2} \sin (x) - 120 x \cos (x) + 120 \sin (x)) + C_{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (- x^{5} \cos (x) + 5 x^{4} \sin (x) + 20 x^{3} \cos (x) - 60 x^{2} \sin (x) - 120 x \cos (x) + 120 \sin (x)) + C_{4}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} = - (- x^{5} \cos (x) + 5 x^{4} \sin (x) + 20 x^{3} \cos (x) - 60 x^{2} \sin (x) - 120 x \cos (x) + 120 \sin (x)) + K$