Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla al metodo di Bernoulli.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} - 2 y = 4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

Passaggio 1.3

Scomponi $x$ da $4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x}$

Passaggio 1.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x^{1}}$

Passaggio 1.4.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Passaggio 1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}}{1}$

Passaggio 1.4.5

Dividi $4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.5

Scomponi $y$ da $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.6

Riordina $y$ e $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Per risolvere l'equazione differenziale, sia $v = y^{1 - n}$ , dove $n$ è l'esponente di $y^{\frac{1}{2}}$ .

$v = y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $y$ .

$y = v^{2}$

Passaggio 4

Trova la derivata di $y$ rispetto a $x$ .

$y' = v^{2}$

Passaggio 5

Trova la derivata di $v^{2}$ rispetto a $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata di $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $v$ .

$y' = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

Passaggio 5.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y' = 2 u \frac{d}{d x} [v]$

Passaggio 5.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

Passaggio 5.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [v]$ come $v'$ .

$y' = 2 v v'$

Passaggio 6

Sostituisci $2 v v'$ a $\frac{d y}{d x}$ e $v^{2}$ a $y$ nell'equazione originale $\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v v' + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Dividi per $2 v$ ciascun termine in $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Dividi per $2 v$ ciascun termine in $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.2

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.2.2

Dividi $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.3

Elimina il fattore comune di $v^{2}$ e $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.3.1

Scomponi $v$ da $\frac{- 2}{x} v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.3.2.1

Scomponi $v$ da $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2}{x} v}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.4

$\frac{- 2}{x}$ e $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2 v}{x}}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- \frac{2 v}{x}}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 v}{x}$ nel numeratore.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2 v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.7.2

Scomponi $2$ da $- 2 v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 (- v)}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.7.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 (- v)}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.7.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1

Scomponi $2$ da $4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 (v)}$

Passaggio 7.1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{v}$

Passaggio 7.1.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{2 (\frac{1}{2})}}{v}$

Passaggio 7.1.1.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{2 (\frac{1}{2})}}{v}$

Passaggio 7.1.1.3.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{1}}{v}$

Passaggio 7.1.1.3.3.2

Semplifica.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v}{v}$

Passaggio 7.1.1.3.4

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v}{v}$

Passaggio 7.1.1.3.4.2

Dividi $2 x^{2}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = 2 x^{2}$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $v$ da $- \frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{1}{x}) = 2 x^{2}$

Passaggio 7.1.3

Riordina $v$ e $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = 2 x^{2}$

Passaggio 7.2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 7.2.2

Integra $- \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 7.2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 7.2.2.3

Semplifica.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Passaggio 7.2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \ln (x)}$

Passaggio 7.2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Passaggio 7.2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 1}$

Passaggio 7.2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 7.3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

$\frac{1}{x}$ e $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Passaggio 7.3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Passaggio 7.3.2.3

$\frac{1}{x}$ e $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Passaggio 7.3.2.4

Moltiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.4.1

Moltiplica $\frac{v}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Passaggio 7.3.2.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Passaggio 7.3.2.4.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Passaggio 7.3.2.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Passaggio 7.3.2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Passaggio 7.3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = 2 \frac{1}{x} x^{2}$

Passaggio 7.3.4

$2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} x^{2}$

Passaggio 7.3.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.5.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} (x \cdot x)$

Passaggio 7.3.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} (x \cdot x)$

Passaggio 7.3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = 2 x$

Passaggio 7.4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = 2 x$

Passaggio 7.5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int 2 x d x$

Passaggio 7.6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x} v = \int 2 x d x$

Passaggio 7.7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{x} v = 2 \int x d x$

Passaggio 7.7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 7.7.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Passaggio 7.7.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Passaggio 7.7.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Passaggio 7.7.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x} v = 1 x^{2} + C$

Passaggio 7.7.3.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{x} v = x^{2} + C$

Passaggio 7.8

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

$\frac{1}{x}$ e $v$ .

$\frac{v}{x} = x^{2} + C$

Passaggio 7.8.2

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{v}{x} x = (x^{2} + C) x$

Passaggio 7.8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{v}{x} x = (x^{2} + C) x$

Passaggio 7.8.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$v = (x^{2} + C) x$

Passaggio 7.8.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.2.1

Semplifica $(x^{2} + C) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$v = x^{2} x + C x$

Passaggio 7.8.3.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.2.1.2.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.3.2.1.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$v = x^{2} x^{1} + C x$

Passaggio 7.8.3.2.1.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$v = x^{2 + 1} + C x$

Passaggio 7.8.3.2.1.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$v = x^{3} + C x$

Passaggio 8

Sostituisci $y^{\frac{1}{2}}$ a $v$ .

$y^{\frac{1}{2}} = x^{3} + C x$