Calcolo Esempi

$\frac{1}{e^{x}} + 2 = x - 3 \frac{d y}{d x}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi l'equazione come $x - 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2$ .

$x - 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2 - x$

Passaggio 1.1.3

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2 - x$ e semplifica.

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Passaggio 1.1.3.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2 - x$ .

$\frac{- 3 \frac{d y}{d x}}{- 3} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

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Passaggio 1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 \frac{d y}{d x}}{- 3} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.3.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} \cdot \frac{1}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Combina.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{e^{x} \cdot - 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x} \cdot - 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Passaggio 1.1.3.3.1.4

Sposta $- 3$ alla sinistra di $e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 3 \cdot e^{x}} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Passaggio 1.1.3.3.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 \cdot e^{x}} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Passaggio 1.1.3.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{- x}{- 3}$

Passaggio 1.1.3.3.1.7

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3}$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione.

$d y = (- \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{3 e^{x}} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{3 e^{x}} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{e^{x}} d x) + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Passaggio 2.3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.4.1

Nega l'esponente di $e^{x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.4.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.4.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Passaggio 2.3.4.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Passaggio 2.3.4.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 e^{- x} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Passaggio 2.3.4.2.2

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int e^{- x} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Passaggio 2.3.5

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.5.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.5.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.5.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int - e^{u} d u + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Passaggio 2.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} (- \int e^{u} d u) + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 (\frac{1}{3}) \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Passaggio 2.3.7.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Passaggio 2.3.8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Passaggio 2.3.9

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \frac{2}{3} x + C_{3} + \int \frac{x}{3} d x$

Passaggio 2.3.10

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \frac{2}{3} x + C_{3} + \frac{1}{3} \int x d x$

Passaggio 2.3.11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \frac{2}{3} x + C_{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Passaggio 2.3.12

Semplifica.

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Passaggio 2.3.12.1

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Passaggio 2.3.12.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.12.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{5}$

Passaggio 2.3.12.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{6} x^{2} + C_{5}$

Passaggio 2.3.13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{- x} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{6} x^{2} + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{- x} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{6} x^{2} + K$