Calcolo Esempi

$2 (y - 4 x^{2}) d x + x d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 2 (y - 4 x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 (y - 4 x^{2})]$

Passaggio 1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 (y - 4 x^{2})$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y - 4 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y - 4 x^{2}]$

Passaggio 1.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 4 x^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4 x^{2}])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (1 + \frac{d}{d y} [- 4 x^{2}])$

Passaggio 1.5

Poiché $- 4 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (1 + 0)$

Passaggio 1.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1$

Passaggio 1.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 = 1$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 = 1$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 - 1}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x$ a $N$ .

$\frac{2 - 1}{x}$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 5.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Passaggio 5.2.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = | x | + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $2 (y - 4 x^{2}) d x + x d y = 0$ per il fattore di integrazione $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $2 (y - 4 x^{2})$ per $x$ .

$2 (y - 4 x^{2}) x d x + x d y = 0$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(2 y + 2 (- 4 x^{2})) x d x + x d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$(2 y - 8 x^{2}) x d x + x d y = 0$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$(2 y x - 8 x^{2} x) d x + x d y = 0$

Passaggio 6.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sposta $x$ .

$(2 y x - 8 (x \cdot x^{2})) d x + x d y = 0$

Passaggio 6.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(2 y x - 8 (x^{1} x^{2})) d x + x d y = 0$

Passaggio 6.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(2 y x - 8 x^{1 + 2}) d x + x d y = 0$

Passaggio 6.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$(2 y x - 8 x^{3}) d x + x d y = 0$

Passaggio 6.6

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(2 y x - 8 x^{3}) d x + x \cdot x d y = 0$

Passaggio 6.7

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(2 y x - 8 x^{3}) d x + x^{2} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = x^{2}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = x^{2} y + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x - 8 x^{3}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + g (x)] = 2 y x - 8 x^{3}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 8 x^{3}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{2} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 8 x^{3}$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 8 x^{3}$

Passaggio 11.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 8 x^{3}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y x - 8 x^{3}$

Passaggio 11.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 y x - 8 x^{3}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x - 8 x^{3} - 2 x y$

Passaggio 12.1.2

Combina i termini opposti in $2 y x - 8 x^{3} - 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Riordina i fattori nei termini di $2 y x$ e $- 2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x y - 8 x^{3} - 2 x y$

Passaggio 12.1.2.2

Sottrai $2 x y$ da $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 8 x^{3} + 0$

Passaggio 12.1.2.3

Somma $- 8 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 8 x^{3}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $- 8 x^{3}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = - 8 x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 8 x^{3} d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 8 x^{3} d x$

Passaggio 13.3

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 8$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - 8 \int x^{3} d x$

Passaggio 13.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Passaggio 13.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Riscrivi $- 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ come $- 8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$g (x) = - 8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Passaggio 13.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.2.1

$- 8$ e $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{- 8}{4} x^{4} + C$

Passaggio 13.5.2.2

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.2.2.1

Scomponi $4$ da $- 8$ .

$g (x) = \frac{4 \cdot - 2}{4} x^{4} + C$

Passaggio 13.5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$g (x) = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} x^{4} + C$

Passaggio 13.5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$g (x) = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} x^{4} + C$

Passaggio 13.5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$g (x) = \frac{- 2}{1} x^{4} + C$

Passaggio 13.5.2.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$g (x) = - 2 x^{4} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y - 2 x^{4} + C$