Calcolo Esempi

$y (x^{2} - 1) d y - x (y^{2} - 1) d x = 0$

Passaggio 1

Somma $x (y^{2} - 1) d x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y (x^{2} - 1) d y = x (y^{2} - 1) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (y (x^{2} - 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x^{2} - 1$ da $y (x^{2} - 1)$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2} - 1} y d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{y^{2} - 1}$ e $y$ .

$\frac{y}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{y}{y^{2} - 1^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 1$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $y^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $y^{2} - 1$ da $(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $y^{2} - 1$ da $x (y^{2} - 1)$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

Passaggio 3.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

Passaggio 3.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{x^{2} - 1} x d x$

Passaggio 3.5

$\frac{1}{x^{2} - 1}$ e $x$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

Passaggio 3.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{x}{x^{2} - 1^{2}} d x$

Passaggio 3.6.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sia $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ . Allora $d u_{1} = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sia $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Differenzia $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

Passaggio 4.2.1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y + 1$ e $g (y) = y - 1$ .

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 4.2.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 4.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 4.2.1.1.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 4.2.1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 4.2.1.1.3.4.2

Moltiplica $y + 1$ per $1$ .

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 4.2.1.1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Passaggio 4.2.1.1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

Passaggio 4.2.1.1.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

Passaggio 4.2.1.1.3.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.3.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.1.3.8.2

Moltiplica $y - 1$ per $1$ .

$y + 1 + y - 1$

Passaggio 4.2.1.1.3.8.3

Somma $y$ e $y$ .

$2 y + 1 - 1$

Passaggio 4.2.1.1.3.8.4

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.3.8.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$2 y + 0$

Passaggio 4.2.1.1.3.8.4.2

Somma $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{1}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sia $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Allora $d u_{2} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Sia $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.1

Differenzia $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Passaggio 4.3.1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.3.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.3.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.3.1.1.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.3.1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.3.1.1.3.4.2

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.3.1.1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.3.1.1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.3.1.1.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Passaggio 4.3.1.1.3.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.3.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Passaggio 4.3.1.1.3.8.2

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Passaggio 4.3.1.1.3.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Passaggio 4.3.1.1.3.8.4

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.3.8.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$2 x + 0$

Passaggio 4.3.1.1.3.8.4.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 4.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Espandi $(y + 1) (y - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 1) + 1 (y - 1) |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.1.3

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.1.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Somma $- y$ e $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 0 - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.3

Somma $y^{2}$ e $0$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| y^{2} - 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x (x - 1) + 1 (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.2.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |) + C)$

Passaggio 5.2.2.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x - 1 |) + C)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2.2

Somma $- x$ e $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 0 - 1 |) + C)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) + C)$

Passaggio 5.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| x^{2} - 1 |)$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Per scrivere $C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 5.2.2.1.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.1

$C$ e $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Passaggio 5.2.2.1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{\ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{\ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2$

Passaggio 5.2.2.1.4

Sposta $2$ alla sinistra di $C$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = \ln (| x^{2} - 1 |) + 2 C$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y^{2} - 1 |) - \ln (| x^{2} - 1 |) = 2 C$

Passaggio 5.4

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1^{2} |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.5.3

Espandi $(y + 1) (y - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (\frac{| y (y - 1) + 1 (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.5.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (\frac{| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.5.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (\frac{| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.5.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.5.4.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.5.4.1.3

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.5.4.1.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.5.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - y + y - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.5.4.2

Somma $- y$ e $y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} + 0 - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.5.4.3

Somma $y^{2}$ e $0$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.5.5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1^{2} |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.5.6

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1^{2} |}) = 2 C$

Passaggio 5.6.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = 2 C$

Passaggio 5.6.3

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x (x - 1) + 1 (x - 1) |}) = 2 C$

Passaggio 5.6.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |}) = 2 C$

Passaggio 5.6.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.6.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.6.4.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.6.4.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.6.4.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.6.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - x + x - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.6.4.2

Somma $- x$ e $x$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} + 0 - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.6.4.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = 2 C$

Passaggio 5.6.5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1^{2} |}) = 2 C$

Passaggio 5.6.6

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = 2 C$

Passaggio 5.7

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |})} = e^{2 C}$

Passaggio 5.8

Riscrivi $\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}$

Passaggio 5.9

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{2 C}$ .

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{2 C}$

Passaggio 5.9.2

Moltiplica ogni lato per $| (x + 1) (x - 1) |$ .

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Passaggio 5.9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1.1

Semplifica $\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $| (x + 1) (x - 1) |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Passaggio 5.9.3.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| (y + 1) (y - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Passaggio 5.9.3.1.1.2

Espandi $(y + 1) (y - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$| y (y - 1) + 1 (y - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Passaggio 5.9.3.1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Passaggio 5.9.3.1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Passaggio 5.9.3.1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1.1.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Passaggio 5.9.3.1.1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Passaggio 5.9.3.1.1.3.1.3

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Passaggio 5.9.3.1.1.3.1.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Passaggio 5.9.3.1.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$| y^{2} - y + y - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Passaggio 5.9.3.1.1.3.2

Somma $- y$ e $y$ .

$| y^{2} + 0 - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Passaggio 5.9.3.1.1.3.3

Somma $y^{2}$ e $0$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Passaggio 5.9.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.2.1

Semplifica $e^{2 C} | (x + 1) (x - 1) |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.2.1.1

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x (x - 1) + 1 (x - 1) |$

Passaggio 5.9.3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |$

Passaggio 5.9.3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Passaggio 5.9.3.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.2.1.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Passaggio 5.9.3.2.1.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Passaggio 5.9.3.2.1.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Passaggio 5.9.3.2.1.2.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |$

Passaggio 5.9.3.2.1.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - x + x - 1 |$

Passaggio 5.9.3.2.1.2.2

Somma $- x$ e $x$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} + 0 - 1 |$

Passaggio 5.9.3.2.1.2.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{2 C} | x^{2} - 1 |$

Passaggio 5.9.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.4.1

Riordina i fattori in $e^{2 C} | x^{2} - 1 |$ .

$| y^{2} - 1 | = | x^{2} - 1 | e^{2 C}$

Passaggio 5.9.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y^{2} - 1 = \pm | x^{2} - 1 | e^{2 C}$

Passaggio 5.9.4.3

Riordina i fattori in $\pm | x^{2} - 1 | e^{2 C}$ .

$y^{2} - 1 = \pm e^{2 C} | x^{2} - 1 |$

Passaggio 5.9.4.4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} = \pm e^{2 C} | x^{2} - 1 | + 1$

Passaggio 5.9.4.5

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{2 C} | x^{2} - 1 | + 1}$

Passaggio 6

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \sqrt{\pm C | x^{2} - 1 | + 1}$

Passaggio 6.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = \pm \sqrt{C | x^{2} - 1 | + 1}$